考点17 立体几何中的计算问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】 22π3【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝22π3.2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】3π3【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝π，πrl ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积V ＝13Sh ＝3π3. 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3. 【答案】33π 【解析】 圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12×3＝33π.4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3. 【答案】 54【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2－32＝6，所以它的体积V ＝32×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．【答案】2 3【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝13×(2×3)×3＝2 3.6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ．【答案】3【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2=,=S rl S r ππ侧底得，21=31l ππ⨯⨯⨯，即=3l ，h ==故该圆锥的体积为2113π⨯⨯⨯=.7、(2017无锡期末） 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________． 【答案】223π【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .则⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝l ×2π3，3π＝12×2πr ×l ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝3，故h ＝l 2－r 2＝22，所以圆锥的体积V ＝13×πr 2×h ＝13×π×12×22＝223π. 解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系．8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥AA 1EF 的体积是________．【答案】 8 3【解析】 因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥AA 1EF 的体积VAA 1EF ＝VEA 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解．9、（2016无锡期末） 如图，在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．【答案】33【解析】思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．解法1 因为VO ⊥平面AOB ，OA ⊂平面AOB ，所以VO ⊥OA ，同理VO ⊥OB ，又因为OA ⊥OB ，OA ＝VO ＝OB ＝1，所以VA ＝VB ＝AB ＝2，所以S △VAB ＝12VA ×AB sin60°＝32.设O 到平面VAB 的距离为h ，由V VAOB ＝V OVAB ，得13S △AOB ×VO ＝13S △VAB ×h ，得12OA ×OB ×VO ＝32h ，解得h ＝33. 解法2 取AB 中点M ，连结VM ，过点O 作OH ⊥VM 于H .因为OA ＝OB ，M 是AB 中点，所以OM ⊥AB ，因为VO ⊥平面AOB ，AB ⊂平面AOB ，所以VO ⊥AB ，又因为OM ⊥AB ，VO ∩OM ＝O ，所以AB ⊥平面VOM ，又因为AB ⊂平面VAB ，所以面VAB ⊥平面VOM ，又因为OH ⊥VM ，OH ⊂平面VOM ，平面VAB ∩平面VOM ＝VH ，所以OH ⊥平面VAB ，所以OH 为点O 到平面VAB 的距离，且OH ＝VO ×OM VM ＝33.【问题探究，变式训练】 题型一 柱、锥的面积与体积知识点拨： 求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.例1、(2019南京、盐城一模）如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥BEFC 的体积为________．【答案】36【解析】V BEFC ＝V FBEC ＝12V PBEC ＝12·(13·S △BEC ·PA)＝12×13×34×4＝36.【变式1】(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【答案】 14【解析】解法1(割补法) 设△ABC 的面积为S ，三棱柱的高为h ，则V 1＝VA 1ABC －V MABC ＝13Sh －13S ×12h ＝16Sh ，V 2＝VABCA 1B 1C 1－VA 1ABC ＝Sh －13Sh ＝23Sh ，所以V 1V 2＝Sh 6·32Sh ＝14.解法2(等积转换) V 1＝VBA 1MC ＝12VBA 1AC ＝12VA 1ABC ，V 2＝2VA 1BC 1B 1＝2VBA 1B 1C 1＝2VA 1ABC ，所以V 1V 2＝14.【变式2】(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________． 【答案】 3【解析】设截得的小圆锥的高为h 1，底面半径为r 1，体积为V 1＝13πr 21h 1；大圆锥的高为h ＝6，底面半径为r ，体积为V ＝13πr 2h ＝8.依题意有r 1r ＝h 1h ，V 1＝1，V 1V ＝13πr 21h 113πr 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1h 3＝18，得h 1＝12h ＝3，所以圆台的高为h－h 1＝3.【变式3】(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 【答案】 83【解析】正四棱锥的底面边长为 2，可知底面正方形对角线长为22，所以正四棱锥的高为（6）2－（2）2＝2，所以正四棱锥的体积V ＝13×4×2＝83.【变式4】(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________． 【答案】 223π【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，则由12·2π3·l 2＝3π，得l ＝3，又由2π3·l ＝2πr ，得r ＝1，从而有h ＝l 2－r 2＝22，所以V ＝13·πr 2·h ＝223π.【变式5】(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1）（图2）【答案】 43【解析】连结EG ，HF ，交点为O ，正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，EB ＝12＋22＝ 5.SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥SEFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.【变式6】(2018苏锡常镇调研（二）） 在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．【答案】【解析】思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结MB ，MC ，MN ，过点D 作MN DH ⊥于H ，因为BP BA =，M 为PA 的中点，所以BM PA ⊥，同理CM PA ⊥，又因为M CM BM = ，所以MBC PA 面⊥，又因为MBC MN 面⊂，所以MN PA ⊥，又因为MN DH ⊥，所以PA DH //，从而MBC DH 面⊥，故DH 为点D 到平面MBC 的高.在MBC ∆中，MC MB =，N 为BC 的中点，则222=-=NB MB MN ，MBC ∆的面积2222121=⨯⨯=⨯=MN BC S ，在NPM ∆中，因为PM DH //，2PD DN =，所以3131==PM DH ，从而三棱锥D MBC -的体积923123131=⨯⨯=⨯=∆-DH S V MBC MBCD ．【变式7】(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 ．【答案】439 【解析】 因为正三棱柱111C B A ABC -中，11//CC AA ，因为B B AA AA 111面⊂，B B AA CC 111面⊄， 所以B B AA CC 111//面，因为点P 在棱1CC 上，所以点C 到平面B B AA 11的距离就是点P 到平面B B AA 11的距离．作AB CD ⊥，垂直为点D ，因为正三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 面ABC ，⊂CD 面ABC ，所以1AA CD ⊥，而B B AA AB 11面⊂，B B AA AA 111面⊂，11A AA AB = ，所以B B AA CD 11面⊥．因为正三棱柱111C B A ABC -中，31==AA AB ，所以233=CD ，1ABA ∆的面积293321=⨯⨯=S ，所以三棱锥1ABA P -的体积439233293131=⨯⨯=⋅⋅=CD S V ． 【变式8】(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ．ABC PA 1B 1C 1(第10题)【答案】13【解析】将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：11AD DC AC +≥，当且仅当1,,A D C 三点共线取到.此时1BD =，所以1122ABDSAB BD =⨯⨯=.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有1BB CB ⊥，又AB CB ⊥，易得CB ⊥平面ABD ，所以11C B ⊥平面ABD ，即11C B 是三棱锥1C ABD-的高，所以1111111123323D ABC C ABD ABDV V C B S --==⨯⨯=⨯⨯=【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题. 题型二 球的面积与体积知识点拨：解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径．多数试题中几何体的外接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法．例1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．ACB A 1B 1C 1D【答案】 2 3【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a＝23，面积S＝34a2＝33，高h＝2.所以正三椎锥的体积V＝13Sh＝2 3.【变式1】(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.【答案】 29π【解析】根据题意，可知三棱锥PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为PA＝2，PB＝3，PC＝4，所以长方体的体对角线的长为PA2＋PB2＋PC2＝29，即外接球的直径2R＝29，可得R＝292，因此外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫2922＝29π，【变式2】(2018无锡期末）直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB⊥BC，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 【答案】 50π【解析】 根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B 1ABC 的外接球，也就是以BA ，BC ，BB 1为棱的长方体的外接球，设其半径为R ，则2R ＝BA 2＋BC 2＋BB 21＝32＋42＋52，得R ＝522，故该球的表面积为S ＝4πR 2＝50π.【变式3】(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm. 【答案】 39【解析】思路分析 圆锥的体积等于球的体积．圆锥的高为4 cm ，体积为V 圆锥＝13π×32×4＝12π(cm 3)．设球的半径为r cm ，则43πr 3＝12π，即r 3＝9，所以r ＝39.题型三、立体几何中的综合问题知识点拨：立体几何中的综合问题往往涉及到求体积的最值问题或者涉及到复杂的几何体的问题，常用的方法是涉及复杂的几何体进行简化，最值问题运用不等式或者求导进行解决。