(2)
线弹性平衡方程的齐次解以u, v, w表示，
则相应的应力分量为
v u u 2G , G x xy x y x 1 u w v y 2G , yz G y 1 y z u u v z 2G , zx G x z 1 z
1 x x y T 0 E 1 y y x T 0 E




1 x y ET 1
热弹性问题的基本解法
位移解法——以位移为基本未知量，用位移表示
物理方程、平衡方程和边界条件，求得位移分量 后，再计算应力分量。 要点——用 E T (x, y, z) 1 2 x ET (l, m, n) 代替弹性问题中的体力fx (x, y, z)，用 l 1 2 代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 可以用线性弹性问题的解法去求解。
其中
u v w x y z
位移分量为 ui u u，应力分量为 ij ij ij i i
当面力为零时，由式(1)得到式(2)所示的应
力分量 ij ，由此求得边界上的应力值通常 不为零；若将这些应力均改变符号后做为 面力按线弹性方法求得 ij ，则 ij = ij + ij将满足面力为零的条件，即为该问题的 实际热应力。
9－3 平面热弹性问题
平面应力问题
E 平面应变问题——在平面应力问题结果中，用 1 2 替换E，用 1 替换，用 (1 ) 替换，即得
1 x ( x y ) T E 1 y ( y x ) T E 1 xy xy G
第9章 热应力
第9章 热应力
1. 简单热应力问题
2. 热弹性基本方程及解法 3. 平面热弹性问题
4. 厚壁圆筒的热应力
5. 厚壁圆球壳的热应力*
6. 板中的热应力*
7. 形变条件下热塑性物理方程
基本概念
热应力——当结构或构件在一定温度条件下工作
时，温度的变化导致材料的膨胀或收缩，若外部 的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不 能自由发生时，结构中就会出现附加的应力。这 种因温度变化（通常简称变温）而引起的应力称 为热应力，或温度应力。 两个方面的计算：(1)由问题的初始条件、边界条 件，按热传导方程求解结构的温度场（变温）。 (2)按热弹性力学的基本方程求解结构的热应力。 假设：各向同性、弹性、小变形、小变温，变温 与变形可独立计算。
无源定常 温度场
T T r / c 2 T 2 x y
T 0
2
上述各式中，c为比热，即单位质量的物体升温一
度所需的热量；r为物体内热源的强度r = r(x, y, z, t)，即单位时间内单位质量的热源所产生的热量； 为导温系数，且 = k/c，k为导热系数，为物 体材料的密度，2为拉普拉斯算子
应力分量为
空心时，a为零， 实心时，a为内径
1 r E C2 r E 2 Td [C1 (1 ) 2 (1 )] 2 a r 1 r 1 r E C2 E 2 Td ET [C1 (1 ) 2 (1 )] 2 r a 1 r
热弹性问题的基本解法
应力解法——以应力为基本未知量，用应力表示
边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算 应变分量和位移分量。 要点——用 E T (x, y, z) 1 2 x ET (l, m, n) 代替弹性问题中的体力fx (x, y, z)，用 l 1 2 代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 ~ ij ，再 可以用线性弹性问题的解法去求解，得到 由 求得ij。 ~ ET ij ij ij 1 2
9－1 简单热应力问题
【例1】两端固定的杆件受热
【例1】长度为l、横截面为A的杆件，两端被固定在 两个刚性壁之间，杆件材料的热膨胀系数为 ， 弹性系数为E，杆件的温度由T1增加至T2，求杆中 的热应力。 【解】温度由T1升至T2因膨胀而产生的杆件伸长为 lT = l(T2-T1) = lT 温度升高，杆件受到压力 PT的作用，由 PT产生的 杆件的缩短为
z = -(r + )/E + T
位移解法
以位移表示的平衡方程
d 2 u 1 du u d 1 d dT 2 ( ru) (1 ) 2 dr r dr r dr r dr dr 积分常数，实 两次积分后得 心时C 应为零
2
1 r C2 u (1 ) Td C1r r a r
r
或
E [ r (1 )T 1 2 E [ r (1 )T 1 2 r G r
r
平面应变问题中
z = (r + ) - ET
平面应力问题中
或
x 2G x ET /(1 2 ), xy G xy
y 2G y ET /(1 2 ), yz G yz z 2G z ET /(1 2 ), zx G zx
x
2c

c
T ( y )dy
c
两端约束弯矩引起的应力
3 yE x 2c 3

c
T ( y ) ydy
扳中的热应力为
E x ET ( y ) 2c
3 yE c T ( y)dy 2c 3
c

c
c
T ( y ) ydy
若物体边界上没有位移约束及边界力，且不计体
【例2】周边自由的等厚度薄板，且l >> c， 沿板的厚度温度均匀，而沿高度有不均匀 温度变化，即T=T(y)，试求板中的热应力。
【解】该薄板属一个自由边界间题，即不存在外
部约束。由于温度沿y向有不均匀的温度变化，在 x方向上各层纤维将产生不同的长度变化，为满足 变形协调条件，各层纤维的变形受到附近纤维的 约束，因此在板中将产生热应力。板的l >> c，且 温度与x无关，可做为一维问题，在板中仅有x方 向的应力x。 温度应力 x = - E T(y) 两端约束合力引起的应力 E c
2 2 2 2 2 2 2 x y z
T 为变温的时间微分（偏导数）
T T t
热弹性基本方程
平衡方程、几何方程（同弹性问题）
物理方程
1 2(1 ) x [ x ( y z )] T , xy xy E E 1 2(1 ) y [ y ( z x )] T , yz yz E E 1 2(1 ) z [ z ( x y )] T , zx zx E E
2 2 2
2F 2F l 2 m Nx xy y 2 2 F F l m 2 Ny xy x
面力
平面轴对称热应力问题
平衡方程、几何方程、协调方程 物理方程（平面应力问题）
1 ( r ) T E 1 ( r ) T E 1 r r G
PT l l p EA
由杆长不变(lT + lp= 0)，得
PT = EAT。
因此，杆件的热应力为
T = - E T
热应力问题特点与条件
杆件中的热应力护与弹性模量E，热膨胀系
数以及温度变化T成正比。在小温度的情 况下，E与 随温度的变化可以忽略，结构 的热应力随温度变化而Байду номын сангаас加，这是一般热 应力间题的特点。 在求解中，仍然包括该问题物理、几何与 平衡三个方面的条件，这是求解热弹性力 学问题应满足的条件，其中物理关系既包 括线弹性的虎克定律，又包括温度变化引 起的变形。
(1)
到平面应变问题的解答。
式(1) 又可写成
平面应变问题中
E x [ x y (1 )T 1 2 E y [ y x (1 )T 2 1 xy G xy
z = (x + y) - ET
（平衡方程、几何方程、协调方程？）
热应力函数
与无变温线弹性问题相似，取F(x, y)为艾雷应力
函数，则
2F 2F 2F x 2 , y 2 , xy xy y x
平面应力问题F 应满足的变形协调方程为
F E T F 应满足的边界条件为
热弹性位移势
引进一个函数 (x, y, z)，使得 u , v , w x y z
则称 为热弹性位移势。
满足平衡方程的位移势必须满足 1 2 T 1 相应的应力解为
(1)
2 2 2 2G 2 2 , 2G x xy y xy z 2 2 2 y 2G 2 2 , yz 2G z yz x 2 2 2 z 2G 2 2 , zx 2G x zx y
边界条件
【例】周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀 系数为，弹性系数为E，泊桑比为，当薄 板温度升高T 时，求板中热应力。
【解】平板的四周被固定，升温时在x和y方向上的 热膨胀均被限制住，因此板中将产生热应力，且 为双向应力状态。由于平板固支，每个微元体在x 和y方向均不会产生变形，即有（不考虑外荷载） e T x x x 0 e T y y y 0 由物理方程及平面应力问题性质（z = 0），有