1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：
① 边的性质：对边平行，四条边都相等．
② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．
④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用
一、正方形的性质
【例1】 （2009年佛山市）正方形有 条对称轴．
【例2】 （2009年郴州市）如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AECE．
EDCBA
【补充】如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.
求证：APEF. 例题精讲 教学目标
重、难点 正方形菱形矩形平行四边形
FEPDCBA
【例3】 如图所示，正方形ABCD对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AOBO、交于MN、．试探讨BM与CN之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
MNCDOBA 【例4】 已知正方形ABCD，在AD、AC上分别取E、F两点，使2EDADFCAC∶∶，求证：BEF是等腰直角三角形．
【例5】 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若50EAF，则CMECNF ．
NMFEDCBA 【例6】 如果点E、F是正方形ABCD的对角线BD上两点，且BEDF，你能判断四边形AECF的形状吗？并阐明理由．
ECDFBA 【例7】 如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DEAD，DFBD．连结BF分别交CD，CE于H，G．求证：GHD是等腰三角形．
3142FEGHCDBA
【变式】 如图，过正方形顶点A引AEBD∥，且BEBD．若BE与AD的延长线的交点为F，求证DFDE．
GFEBDA 【例8】 如图所示，在正方形ABCD中，AK、AN是A内的二射线，BKAK，BLAN，DMAK，DNAN，求证KLMN，KLMN.
KNMLDCBA 【例9】 （2006晋江市中考）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接,BEDG，求证：BEDG.
GCFEDBA 【例10】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CECF，30FDC，求BEF的度数.
BDCAEF 【例11】 （2009年哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，3BE，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为 ．
【例12】 （2009威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O．
⑴ 如图2，连接EFFGGHHE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
⑵ 将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHAEBFCGD，则图3中阴影部分的面积
为_________2cm．
图3图1图2HDGCFEBAOHGFEDCBA 【例13】 如图，正方形ABCD对角线相交于点O，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQDP，求证：（1）OPOQ；（2）OPOQ.
BODCAQP 【补充】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AMAD．
MFEDCBA
【补充】如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：AH正方形的边长．
HEGCDFBA 【例14】 （2007浙江台州中考）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
GCHFEDBA 【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90ADC，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EPl于点P，求证22EPADCD.
lPMFEDCBA
【例16】 如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则EAB______.
ABCDEF 二、正方形的判定
【例17】 四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，求证：
⑴四边形EFGH对角互补；
⑵若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形．
⑶四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形．
HEFGDCBA 【例18】 （2008上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形．
⑴ 求证：四边形ABCD是菱形；
⑵ 若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．
OEDCBA 【例19】 （2007淄博）已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E．
⑴ 求证：四边形ADCE为矩形；
⑵ 当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
MENCDBA 【例20】 如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2ABAD，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形．
PMFEDCBA 【例21】 若在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．