第23讲 可积条件及可积函数类
讲授内容
一、可积的必要条件
定理9．2 若函数f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上必定有界．
证：用反证法．若f 在[]b a ,上无界，则对于[]b a ,的任一分割T ，必存在属于T 的某个小区间
k k x f x ∆∆在,上无界．在k i ≠各个小区间i ∆上任意取定i ξ，并记().i
k
i i
x f G ∆=
∑≠ξ
现对任意大的正数M ，由于f 在k ∆上无界，故存在k k ∆∈ξ，使得().k
k x G
M f ∆+>
ξ 于是有
()()()i k
i i k k i n
i i x f x f x f ∆-
∆≥∆∑∑≠=ξξξ1
M G x x G
M k k
=-∆⋅∆+
由此可见，对于无论多小的T ，按上述方法选取点集{}i ξ时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f 在[]b a ,上可积相矛盾．
例1 （有界函数不一定可积）证明狄利克雷函数()⎩⎨
⎧=x x x D ,0,1为无理数
为有理数
，在[]10，
上有界但不可积． 证：显然()[].1,0,1∈≤x x D ，对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T
的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，
()11
1
=∆=∆∑∑==n
i i
i
n i i
x
x D ξ；当取i ξ全为无理数时，
()01
=∆∑=i
n
i i
x
D ξ．所以不论T 多么小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同
极限，即()x D 在[]10，
上不可积．由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论函数的可积性时，总是假设函数是有界的．
二、可积的充要条件
要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分
和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的．下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值．
设{}
n i T i ,,2,1 =∆=为对[]b a ,的任一分割．由f 在[]b a ,上有界，它在每个i ∆上存在上、下确界：
()().,,2,1,inf ,sup n i x f m x f M i
i
x i x i ===∆∈∆∈作和()(),,1
1
i n i n
i i i i x m T s x M T S ∆=∆=∑∑==分别称为f 关于分割
T 的上和与下和(或称达布上和与达布下和，统称达布和)．任给,,,2,1,n i i i =∆∈ξ，显然有
()()().1∑=≤∆≤n
i i i T S x f T s ξ 与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与点集{}i ξ无关．通过讨论上和
与下和当0→T 时的极限来揭示f 在[]b a ,上是否可积．所以，可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的．
定理9．3 (可积准则) 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε,总存在相应的一个分割T ，使得()()ε<-T s T S
设i i i m M -=ω称为f 在i ∆上的振幅，有必要时也记为f
i ω。

由于S(T )－()=
T s ∑=n
i i
1
ω
i x ∆(或记为i T
i x ∆∑ω)，因此可积准则又可改述如下：
定理
3.9' 函数f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给0>ε，总存
在相应的某一分割T ，使得
εω<∆∑i
T
i x
几何意义是：若f 在[]b a ,上可积，则包围曲线=y ()x f 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分地细；反之亦然．
三、可积函数类
根据可积的充要条件，我们证明下面一些类型的函数是可积的(即可积的充分条件)． 定理9．4 若f 为[]b a ,上的连续函数，则f 在[]b a ,上可积．
证：由于f 在闭区间[]b a ,上连续，因此在[]b a ,上一致连续．这就是说，任给0>ε，存在>δ0，对[]b a ,中任意两点x '`x ''，只要x x ''-'δ<，便有()()a
b x f x f -<
''-'ε
所以只要对[]b a ,所作的分割T 满足
δ<T ，在丁所属的任一小区间i ∆上，就能使f 的振幅满足()()a
b x f x f m M i i i -<
''-'=-=ε
ωsup
从而导致
εε
ω=∆-≤
∆∑∑T
i
i T
i x
a
b x ，由定理3.9'，证得f 在[]b a ,上可积．
定理9．5 若f 是区间[]b a ,上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[]b a ,上可积．， 证：不失一般性，这里只证明f 在[]b a ,上仅有一个间断点的情形，并设该间断点即为端点b ． 任给0>ε，取δ'，满足()
m M -<
'<20ε
δ，且a b -<'δ，其中M 与m 分别为f 在[]b a ,上的上确
界与下确界(设M m <，否则f 为常量函数，显然可积)．记f 在小区间[]b b ,δ'-=∆'上的振幅为ω'，则
()()
2
2ε
ε
δω=
-⋅
-<''m M m M ， 因为f 在[]δ'-b a ,上连续，由定理9．4知f 在[]δ'-b a ,上可积．再
由定理9．3，(必要性)，存在对[]δ'-b a ,的某个分割{}121,,,-∆∆∆='n T ，使得
2
ε
ω<
∆∑'
i T i x
令∆'=∆n ，则 {}n n T ∆∆∆∆=-,,,,121 是对[]b a ,的一个分割，对于T ，有
.2
2
εε
ε
δωωω=+
<
''+∆=∆∑∑'
i T i i T
i x x
根据定理9.3(充分性)，证得f 在[]b a ,上可积．
定理9.6 若f 是[]b a ,上的单调函数，则f 在[]b a ,上可积．
证：设f 为增函数，且()()()(),,b f a f b f a f =<若，则f 为常量函数，显然可积．对[]b a ,的任一分割T ，由f 的增性，f 在T 所属的每个小区间i ∆上的振幅为()(),1--=i i i x f x f ω 于是有
()()[]T x f x f x n
i i i
i
T
i
∑∑---≤∆1
1
ω()()[].T a f b f -=
由此可见，任给0>ε，只要()()
,a f b f T -<
ε
这时就有,εω<∆∑i T
i x 所以f 在[]b a ,上可积．
注意：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性．
例2 试用两种方法证明函数()⎪⎩⎪
⎨⎧=≤<+== ,2,1 ,11
1 ,1,0 ,0n n x n n x x f 在区间[]1,0上可积．
证：[证法一]由于f 是一增函数，虽然它在[]1,0上有无限多个间断点
,,3,2,1
==
n n
x n 但由定理9.5，仍保证它在[]1,0上可积． [证法二](仅利用定理9.3，和定理9.5) 任给0>ε，由于01
lim =∞→n n ，
因此当n 充分大时
21ε<n ，这说明f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,2ε上只有有限个间断点．利用定理9．5和定理9．3，推知f 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,2ε上可积，且存在对⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,2ε的某一分割T '，使得
2
ε
ω<
∆∑'
i T i x
在把小区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0ε与T '合并,成为对[]1,0的一个分割T .由于f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2
,0ε上的振幅10<ω，因此得到
εε
εωεωω=+<∆+⋅=∆∑∑'
'
'2
22
0i T i i T i x x . 所以f 在[]1,0上可积．
例3 证明黎曼函数()()⎪⎩⎪
⎨⎧=>==内的无理数
以及互素1,01,0 ,0,,,, ,1
x p q q p q
p x q x f 在区间[]1,0上可积，且
()01
=⎰dx x f
分析：已知黎曼函数在10==x x ，，以及一切无理点处连续，而在
()1,0内的一切有理点处间断．证明它在[]1,0上可积的直观构思如下：
在黎曼函数的图象中画一条水平直线2
ε=
y ,在此直线上方只有函数图象中有限个点，这些点所对应的自变
量可被含于属于分割T 的有限个小区间中，当T 足够小时,这有限个小区间的总长可为任意小;而T 中其余
小区间上函数的振幅不大于
2ε
,把这两部分相合,便可证得2εω<∆∑i T
i x .。