之不 真． 是 Ｒｅ ａ ｎ可积 函数 与连续 函数在 微积 分 的学 习中 ， 但 ｉ ｎ ｍ 占有重 要 的地位 ， 弄清 两者 之 间的关 系 ，
不 仅对 学生 学 习《 等数 学》 程 有很 大 的帮 助． 高 课 ， 而且 对 教 师讲 授 《 高等 数学 》 程也 有 很大 的 帮助 ， 课 同 时 也可使 很多《 等 数学》 材 内容得 到很好 的 丰富与 补充 ， 就 是笔者 写此 文的 目的所在 ． 高 教 这
积 与和小 和 ， Ｔ＝ ａ ｛ｘ ， ：… ， ） ｌ ）ｍ ｘＡ （ ， ． 定 义 １３ 若 函数 ） 区 间 ， ． 在 有界 ． ｍ ｉ ｛ ） 设 ＝ｎ ｆ ： ＩＭ＝ ｕ 【 ： ｌ则 ＝ ｍ称 为数 ） ｆ （ ∈／， ｓｐ厂 ） （ ∈ｌ，
在 区间 ， 的振 幅．
随 着教育 改 革 的不 断深 化 ， 学 《 大 高等 数学 》 学 不 仅 向学 生 传 授 基础 数 学 知识 ， 时 也为 其 它 相 教 同
关 学科提 供有 力 的计 算工 具 ， 因此 高 等数 学课 在理 科 、 科 、 济 管理 等 学科 中有 着 重要 的作 用 ．高 等 工 经 《
第２ ２卷第 ３期 ２１ 年 ８月 ００
宁 德 师专 学 报 （ 科 学 版 ） 自然
Ｊ ｕ ａ ｏ Ｎｉｇ ｅ ａ ｈ ￣ Ｃ ｌ ｇ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｎ ｄ Ｔｅｃ ｅ ｎ ｏｌ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ
Ｖｏ ．２ Ｉ Ｎｏ３ ２ ．
Ａｕ ｇ． ２ ０ ０１
Ｒ ｅ ｎ 可积 函数与连续函数 ｉｍａ ｎ
江 枫
（ 宁德 职 业 技 术学 院 ， 建 福 安 ３ ５ ０ ） 福 ５０ ０
摘要 ： ｉｍ ｎ Ｒｅ ａｎ可积 函数 与 连续 函数 之 问 有 着 密 切联 系 的 ， 明 了 闭 区 间 ６上 Ｒｅ ａｎ可积 函数 在 ｈ６ 证 】 ｉｍ ｎ 】
１ 相关 的概念 与性 质
定义 １１ 设 Ａ， ． ＢＣＲ， Ａ在 是稠 密 的 ， 称 如果 ＤＢ， 等价 的 Ｖ ∈Ｂ ｊ Ｊ 或 ， ＣＢ，使 得
∞１ ．
（一 凡
性质 １ 函数 ） 闭 区间 ，】 ． ２ 在 ６可积充 分必 要 条件 ｌ （ ． （ ＝ ， 中 ５ ， 为 分法 的 大 ｉ ｍ ７ － ０ 其 ）ｓ （ ｓ （
收稿 １ ：２ ０ ７ ２ ３期 ０１ — — ０ 作 者简 介 ：江 枫 ＇ ９ ２ ） 男 ， 级 讲 师 ， 建 福 安人 ， 从 事 高 职 高专 数 学教 学 与 研 究 （ ６一 ， 高 １ 福 现
Ｅ—ｍａｌ ｓｎａ ｃ ０１ １ ３．ｏ ｉ： ｉ ｂ ０ ＠ ６ ｃ ｒ ｎ
第 ３期
性质 １４ 函数 ） 闭区 间［，】 ． 在 Ⅱ ６可积 充分 必要 条 件 “ ｎ
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￣ｘ０其中 是函 ） 【 ， Ａｔ ， ＝ 数 在 “
Ａ ｘ 的振 幅 ，＝ ， … ，． 】 ｋ ｌ２ ｎ ２ Ｒｅ ｎ ｉｍａ ｎ可 积 函数 与连 续 函数
江
枫 ： ｉｍ ｎ Ｒ ｅ ａ ｎ可 积 函数 与 连 续 函数
・２ ９ ・ ８
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的 稠 子集 上 是 连 续 的． 时 也 举 了 相关 的例 子 作 为它 的应 用 ． 同 关键 词 ： ｉ ｎ Ｒｅ ｎ可 积 函 数 ， 续 函数 ， 密 集 ｍａ 连 稠 ｒ
中图 分 类 号 ： ３ 文献 标 码 ： Ｏ １ Ａ
文章 编 号 ：０ ４ ２ １ ２ １） ３ ０ ８ － ３ １０ — ９ １（００ ０ － ２ ８０ －
连 续 函数一 定 是 Ｒ ｅ ｎ ｉ ｍａ ｎ可 积 的 ， 反 之不 真． 积 函数 与 连续 函数不 是没 有 联 系的 ， 但 可 相反 它们 有 着 密切 的联 系． 面定 理说 明 了 ： 区间 ，］Ｉ 函数 ｘ Ｊ ［，］ 下 闭 ｂ－ 积 ， － ）Ｅａ ６的稠子集 上是 连续 的． ｃ
数 学》 程 主要 向学 生讲授 微 分 学与 积兮 学 的知识 ， 限理 论 与 连续 函数 理 论则 是 它们 的桥 梁 ． 者 发 课 极 笔 现， 很多经典 的《 高等 数学》 教材［ ］ 至更为专 业 的《 】， －甚 ｓ 数学 分 析讲 义 》 教材 ， 在定 积分 内容 中 ， 涉及 Ｒ ｅ ｉ— ｍｎ ａ ｎ可积 函数 与连续 函数 之 间关 系 的内容 甚少 ， 的只有 一句 话 ： 区间上 的连续 函数一 定是 可 积 ， 有 闭 反
定 理 ２ １ 若 函数 ） 闭区 间【，】 积 ， ． 在 口 ６可 则 ） 在 ，］ ６的稠子 集上 是连续 ．
证 由 质１可 ）闭 间口】积， ｉ ￣ ｔ．于￡ ， ，的 划Ｔ使 明 性 ． 知 在 区 ［６ 则ｌ ４ ，可 ｍ∑ｗ ｘ０ 了ａ】分 １ Ａ＝对 ： ６ ，
得（ ∑ ） ＜１６ 从而必 （ ， 一一 有属于分划Ｔ的 Ｉ 某个小区 － ＇ 上 （） 间 ｋＸ兰 的振幅 ｆ ￡ 若不 Ｉｋ ￣ ＂】 ＜ ＾ ，