等比数列测试题A 组一.填空题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在等比数列{}n a 中,3620,160a a ==,则n a = . 1.20×2n-3.提示:q 3=16020=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中,首项为98,末项为13,公比为23,则项数n 等于 .2.4. 提示:13=98×(23)n-1,n=4.3.在等比数列中,n a >0,且21n n n a a a ++=+,则该数列的公比q 等于 .3.12.提示:由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=12+. 4.在等比数列{a n }中,已知S n =3n +b ,则b 的值为_______.4.b=-1.提示:a 1=S 1=3+b ,n ≥2时,a n =S n -S n -1=2×3n -1.a n 为等比数列,∴a 1适合通项,2×31-1=3+b ,∴b =-1.5.等比数列{}n a 中,已知12324a a +=,3436a a +=,则56a a +=5.4.提示:∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=,3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中,a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1…是首项为1、公比为31的等比数列,则a n 等于 。
6.23(1-n31).提示:a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=23(1-n 31)。
7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩,。
提示:公比为a q 2=, 当1=q ,即21=a 时,;,12n S a n ==当1≠q ,即21≠a 时,12≠a ,则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8,n S 是其前n 项和,某同学经计算得224S =,338S =,465S =,后来该同学发现其中一个数算错了,则算错的那个数是__________,该数列的公比是________.8.2S ;32。
提示:设等比数列的公比为q ,若2S 计算正确,则有2q =,但此时3438,65S S ≠≠,与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32q =,且465S =也正确.二.解答题(本大题共4小题,共54分)9.一个等比数列{}n a 中,701333241=+=+a a a a ,,求这个数列的通项公式。
9.解:由题设知311211133a 70a a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相除得q =2552或, 代入a a 14133+=,可求得a 1125=或8,∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪--a a n n n n 1252585211或10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .解 设{}n a 的公比为q ,由S 4=1,S 8=17知q ≠1,∴4181a (1)1,1a (1)17,1q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得11152a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1152a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩。
∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --⨯。
11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列,数列{}n x 的前100项的和等于100,求数列{}n x 的前200项的和。
11.解:由已知,得212log log 1n n x x +-=,12n nx x +∴=, 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列,设{}n x 的前n 项和为S n 。
则S 100=1001x (12)12--=1001x (21)-,S 200=2001x (12)12--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012⨯+故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012⨯+。
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,其中0n a ≠,1a 为常数,且1a -、n S 、1n a +成等差数列.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1n n b S =-,问:是否存在1a ,使数列{}n b 为等比数列?若存在,求出1a 的值;若不存在,请说明理由. 12.解:(Ⅰ)依题意,得112n n S a a +=-.于是,当2n ≥时,有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩.两式相减,得13n n a a +=(2n ≥).又因为211123a S a a =+=,0n a ≠,所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列.因此,113n n a a -=⋅(n *∈N );(Ⅱ)因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--,所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅.要使{}n b 为等比数列,当且仅当11102a +=,即12a =-.备选题:1.已知在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。
1.12-n 。
提示:由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。
2.在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.2.3375±。
提示:610925,q q a a q ===⋅=±。
3.设数列{a n }的前项的和S n =31(a n -1) (n ∈N +),(1)求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.B 组一.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.正项等比数列{a n }中,S 2=7,S 6=91,则S 4= 。
1.28提示:∵{a n }为等比数列,∴S 2,S 4-S 2,S 6-S 4也为等比数列,即7,S 4-7,91-S 4成等比数列,即(S 4-7)2=7(91-S 4),解得S 4=28或-21(舍去).2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列,且b c a ,,成等比数列,则::a b c = _ 。
2、)2(:1:4-。
提示:22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。
3.在等比数列{a n }中,已知n ∈N *,且a 1+a 2+…+a n =2n -1,那么a 12+a 22+…+a n 2等于 。
3. 31(4n -1)。
提示:由S n =2n -1,易求得a n =2n -1,a 1=1,q =2,∴{a n 2}是首项为1,公比为4的等比数列, a 12+a 22+…+a n 2= 31(4n -1)。
4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和,则n a =________.解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是5.已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈,若方程()f x a =有三个不同的根,且从小到大依次成等比数列,则a = 。
5.12-。
提示:设最小的根为α,结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+,所以()()222πααπα-=•+, 解得23πα=,21cos32πα==-。
制为6位数能表示十进制中最大的数是 6.63.提示:111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:111111654321=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。
二.解答题(本大题共2小题,共36分)7. 数列}{n a 满足:*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++(1)记n n n a a d -=+1,求证:{d n }是等比数列; (2)求数列}{n a 的通项公式;(3)令23-=n b n ,求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n 。
(1)21123,23,11221=-=-∴==a a a a又n n n n a a a a 2121112-=-+++。
n n n n n n d d a a a a 21,211112==--∴++++即故数列2121}{为首项,公比为是以n d 的等比数列. (2)由(1)得n n n n a a d )21(1=-=+1121112211)21(21)21(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a(3)11)21()23()46(])21(2[)23(23--⋅---=-⋅-=⋅=-=n n n n n n n n n b a c n b 令02112111112[147...(32)][147...(32)]2222111(31)[147...(32)]222n n n S n n n n n --∴=⨯++++--⨯+⨯+⨯++-⋅=--+⨯+⨯++-⨯令1221)23( (2172)141-⨯-++⨯+⨯+=n n n T ① n n n n n T 21)23(21)53(...21721421121132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-② ① -②得12113224383243821)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n nn n n n n S n T n T8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα,且11=a(1)试用n a 表示1+n a (2)求证:}32{-n a 是等比数列 (3)求数列的通项公式n a (4)求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα, )(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根312102361111+=⇒=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα(2)为等比数列常数}32{2132323121323121111-∴==--⇒-=-⇒+=+++n n n n n n n a a a a a a a (3)令3132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列,公比为则 32)21(3132)21(3111+=+=⇒=∴--n n n n b a b(4)n nn n n S )21(32322]211)21(1[3132-+=--+= 备选题:1.数列}{n a 是正项等差数列,若nna a a a b nn ++++++++=32132321,则数列}{n b 也为等差数列,类比上述结论,写出正项等比数列}{n c ,若n d = ,则数列}{n d 也为等比数列。