第O 章 绪论一、教学设计1．教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。

数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。

数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。

学会选用相对较好的数值计算方法。

4．教学方法：介绍与讨论二、教学过程§1。

1引论1．课程简介：数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。

另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。

2．历史沿革：①数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。

②各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。

例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。

③直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。

3．计算方法的形成：①20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。

如：天气预报②计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。

③以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。

4．作用与意义：科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。

这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。

5．计算方法的任务：①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。

例：!!212n x x x e n x++++≈ ， h x y h x y x y )()()(-+≈' ②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。

例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。

(几十万年)③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。

6．计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：)利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下：实际问题――＞构造数学模型――＞设计数值计算方法――＞程序设计――＞上机求出结果――＞回到实际问题。

数学模型举例：例1：鸡兔同笼：（共10只，34只脚）导致方程组；例2：曲边梯形的面积。

相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方法；微分方程数值解等。

7．主要特点既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性。

（要求先掌握基本数学知识，以及计算机的基本操作）8．学习目的：①学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。

②初步掌握一种软件包：Mathematic,Matlab 等的使用方法。

9．参考书目：［1］袁蔚平等编.《计算方法与实习》.南京 ：东南大学出版社,2000年7月［2］李庆杨等编.《数值分析》 .武汉：华中工学院出版社,1982年1月［3］葛福生编.《数值计算方法》.南京 ：河海大学出版社,1996年4月§1。

2数值问题与数值算法1．数值问题：指输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。

例：求二次方程02=++c bx ax 的根，可算作一个数值问题；求常微分方程 0)0(,32=+='y x y 的解，却不能称作数值问题，需离散化。

2．数值方法：求解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。

例1：Cram 法则，Gauss 消去法例2：求根公式a ac b b x 2422,1-±-=→ac b d ad SQRT b x 4,2)(22,1-=±-= 3．数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它的前提和基础，它是数值方法的具体化。

具备以下四个特性：①目的性；②确定性；③可执行性；④有穷性。

(有别于常规的思维)算法设计的目的：①可靠性好、计算精度高；②计算复杂性好；③为程序设计作准备。

4．算法设计及其表达法表达方法：自然语言法和图示法。

例：通过二次方程求根的例子，说明数值方法与数值算法的区别，并演示算法常用的表达方法之一：自然语言法（图示法不加介绍）。

(首先要选择数值方法：公式法或迭代法)主要步骤：（阅读课本后，要求自己解释）1．输入数据c b a ,,2．若0=a 怎样？（若0≠b ，bc x -=1，否则…） 3．若0≠a ，计算ac b D 42-=，)(D SQRT SD = 若0=D 怎样？（a b x x 221-==） 若0<D 怎样？（aiSD b x 22,1±-=） 若0>D 怎样？4．输出21,x x§2误差2-1 误差的基本概念1．误差来源及种类：①模型误差（忽略次要因素）②观测误差（测量工具的限制）③截断误差（有限代替无限，如Taylor 展开）④舍入误差（计算机字长位数有限），主要讨论③④。

2．举例说明误差分析的重要性：计算),2,1,0(101 ==⎰-n dx e x e I x n n 。

递推公式（A ）：11--=n n nI I ，632120559.00=I ；11--=n n nI I ，6321.00=I ；递推公式（B ）：n I I n n /)1(1-=-，8123130.0325685520=I计算),2,1,0(101 ==⎰-n dx e x e I x n n 。

递推公式（A ）：11--=n n nI I ，632120559.00=I ；11--=n n nI I ，6321.00=I ；递推公式（B ）：n I I n n /)1(1-=-，8123130.0325685520=I⎰⎰≤≤-≤≤-<<1010110101max min dx x e e I dx x e e n x x n n x x ，或 1111+<<+-n I n e n ， 故 7619050.04761904I 8627210.0175180620<<，取中值即得8123130.0325685520=I计算结果见表，差之毫厘，失之千里，试分析其中原因（误差被放大或缩小）。

3．定义3.1 设*x 为准确值，x 为*x 的一个近似值，称x x e -=*为近似值x 的绝对误差，简称误差。

（绝对）误差限ε：ε≤-=x x e *，或ε±=*x x例：51000,215±=±=y x 4．定义3.2 近似值x 的误差与准确值*x 之比***x x x x e e r -==，称为近似值x 的相对误差。

（相对）误差限r ε：r r xx x e ε≤-=**。

但实际中常以下式计算：x x x x e e r -==*，相应地xr εε=*。

例：51000,215±=±=y x ；例：已知 82281718.2=e ，其近似值为28718.2*=e ，求*e 的绝对误差限ε和相对误差限*r ε。

考察常用的四舍五入(为什么要四舍五入？) 所引起的误差，不超过某一位数字的半个单位（个位为1，十位为10，…）5．定义3.3 如果*x 的误差绝对值不超过某一位数字的半个单位，若该位数字到*x 的第一位非零数字共有n 位，则称用*x 近似x 时具有n 位有效数字，简称*x 有n 位有效数字。

例：5161.3,6141.3*=π分别具有6,5位有效数字。

如何描述有效数字？（一般情况下在计算机中数往往规格化，故有必要考察规格化数。

）6．定义3.4 如果n k a a a x 21*.010⨯±=（其中01≠a ）是x 的近似值，且满足不等式n k x x -⨯≤-105.0*，则称*x 有n 位有效数字。

例：设1000=x ，它的两个近似值9.999*1=x 和1.1000*2=x 分别有3,4位有效数字。

一般地，有效数字位数多，相对误差小，但上例例外。

下面讨论相对误差与有效数字的关系。

7．定理3.1 设n k a a a x 21*.010⨯±=（其中01≠a ）是x 的近似值，（1）如果*x 有n位有效数字，则*x 的相对误差限为11*1021+-⨯≤n r a E ；（2）若*x 的相对误差限为11*10)1(21+-⨯+≤n r a E ，则*x 至少有n 位有效数字。

例：设（1）98.1,986.1*11==x x ，（2）01.1,014.1*22==x x ，分别求*2*1,x x 的有效数字位数与相对误差限。

（用此例说明定理3.1的不唯一） 例：要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（4位，4.472）（用定理3.1的（1）来解，但并不能保证最好的结果：例：2501，2,3,4位有效数字都可以使相对误差小于0.1%）例：已知*x 作为x 的近似值有n 位有效数字，问*/1x 作为x /1的近似值有几位有效数字？ 3-2 数值运算的误差估计（不加证明）1．（可先讲一元的）设给定多元函数),,,(21n x x x f A =，且设**2*1,,,n x x x 为nx x x ,,,21 的近似值，以),,,(**2*1*n x x x f A =作为A 的近似值，其误差分析可利用Taylor 展开，其绝对误差∑∑==∂∂=-∂∂≈-=-=n i i in ni i i i n n n x E x x x f x x x x x f x x x f x x x f A A A E 1***11***121**2*1**)()),,(())(),,((),,,(),,,()( 绝对误差限为：)(),,()(*1**1*i n i in x x x x f A εε∑=∂∂≈ 相对误差为：∑∑==∂∂=∂∂≈=n i i r i i n n i i i n r x E A x x x x f A x E x x x f A A E A E 1***11***1*)(),,()(),,()()(或：∑∑==∂∂=∂∂≈=n i i r i i n n i i i n rx E A x x x x f A x E x x x f A A E A E 1******11****1***)(),,()(),,()()( 相对误差限为：)(),,()(),,()()(*1**11***1*i r n i i i n n i i i n r x A x x x x f A x x x x f A A A εεεε∑∑==∂∂=∂∂≈=或 )(),,()(),,()()(**1****11****1***i r n i r in n i i i n r x A x x x x f A x x x x f A A A εεεε∑∑==∂∂=∂∂≈= 2．基本运算的误差（1）xy y x f =),(，)()()(y xE x yE xy E +≈，)()()(y E x E xy E r r r +≈（2）y x y x f /),(=，)()(1)/(2y E yx x E y y x E -≈，)()()/(y E x E y x E r r r -≈ （3）y x y x f ±=),(，)()()(y E x E y x E ±≈±，)()()(y E yx y x E y x x y x E r r r ±±±≈± （4）x x f =)(，)(21)(x E x E r r ≈， （5）n x x f =)(，)()(x nE x E r n r ≈ 例：见书本P28，T10，应用以上理论作分析。