可得

y

5 3
(20

x)
z

2
(100

x)
3
这是一个不完全方程组的求整数解问题——丢番图问题。
13
那些我们所熟知的数学模型
“点”、“面”、“线”——抽象化的数学模型
哥尼斯堡七桥问题
1726年，瑞士数学家欧拉（1701－1783）受聘于沙俄科学院，后来 出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯 堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请 教的是下面一个问题。
C
之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现
线路重复呢？
类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。
作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是 奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点．
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行 的一笔画问题。
16
什么是数学模型、数学建模
模型中变量的特 连续型模型、离散型模型或确定性
征
模型、随机型模型等
建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方
学方法
程模型、优化模型等
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通
范畴
流模型、经 济模型、 基因模型等
18
2.如何数学建模？
19
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
数学模型与数学建模
主要内容
1.什么是数学模型？
——1.1基本概念 ——1.2特点和分类
2.如何数学建模？
——2.1方法和步骤 ——2.2示例
3.为什么数学建模？
—— 3.1现实意义 —— 3.2个人收获
2
1.什么是数学模型？
数学 模型 数学模型
3
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂 亮的数学创造
店主桥
铁匠桥
木桥
普雷盖尔河
内福夫岛
蜜桥
绿桥
“馋嘴” 吉布莱茨桥
高桥
新河道 旧河道
15
B
欧拉在草纸上勾画出示意图。在他
看来，问题是否有可行的方案，与
岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头
的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将
D
A
半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将 各个小桥代之以线。
现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D
正方形ABCD
绕O点旋转
24
模型构成
用数学语言把椅子位置和四 只脚着地的关系表示出来
地面为连续曲面
椅子在任意位置 至少三只脚着地
f() , g()是连续函数
对任意, f(), g()
至少一个为0
数学 已知： f() , g()是连续函数 ;
问题
对任意， f() • g()=0 ;
——著名数学家 华罗庚
任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即 显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。
马克思教导我们： 一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！ 6
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
7
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人 3名随从
商人们怎样才能安全过河?
问题分析
多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员
要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经
有限步使全体人员过河
30
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,
12
那些我们所熟知的数学模型
“3x＋1＝10” 方程是表现等量关系的数学模型
例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一 块。问大马、小马、马仔各几何。
解 设大马，小马，马仔分别为
x y z 100

分别消去
3x

2
y

1 2
z

100
x, y, z z和 y
匹，应有
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
25
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 26
数学模型
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世 界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据 特有的内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模
建立数学模型的全过程
（包括表述、求解、解释、检验等）
17
数学模型的分类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度
23
模型构成
用数学语言把椅子位置和四 只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ B A ´
• 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
距离是 的函数
C
四个距离
两个距离
(四只脚) 正方形
C´
对称性
A
O
x
D´ D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f( ) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g( )
21
几个数学建模示例
22
例1 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，任何方向都不会出现
设 间断，即地面可视为数学上的连续曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
sk+1=sk+(-1)k dk ~状态转移律
多步决 策问题
求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).
31Biblioteka S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
D={(u , v) u+v=1, 2}
型 构
发挥想像力
使用类比法
成
尽量采用简单的数学工具
28
数学建模的一般步骤
模型 求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型 分析
如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析
模型 检验
与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用 29
例2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 河 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
π 比如，当扇形的弧长与半径之比为 2
时，对应的圆心角是直角；
当扇形的弧长与半径之比为 π 时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）.
弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后 面再加量纲（名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数 学模型恰是关于几何图形的数学模型。
sk=(xk , yk)~状态
S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
uk, vk=0,1,2;
vk~第k次渡船上的随从数
k=1,2,
dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模 型
了解实际背景 明确建模目的 形成一个
准
比较清晰
备 搜集有关信息 掌握对象特征 的‘问题’
27
数学建模的一般步骤
模
针对问题特点和建模目的
型
假
作出合理的、简化的假设
设 抓本质，在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题内在规律 模
2、蜂巢
自
然
离
不
消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格
开
3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形
数
学
4
问题/应用
来自数学的贡献
核磁共振成像技术(MRI) 计算机辅助成像(CAT)
积分几何
空中交通管制
控制论
期权定价
Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟
多步决策模型，是有效解决此类问题的方法。
32
数学建模的全过程
表述
现 现实对象的信息
数学模型
数
实
(归纳)