相互接触的物体分离问题
题型简述
两个物体相互接触，随着物体受力情况的变化，物体之间的弹力随之发生变化，物体之间弹力减小到零是物体恰好分离的临界状态。
方法突破两个相互接触的物体恰好分离的临界条件是：相互间的弹力F N＝0，但这一时刻，二者的速度、加速度仍相等。
图甲中，B恰好离开地面的条件是B所受地面支持力F N＝0，从而得到弹簧拉力大小等于B的重力；图乙中，光滑水平面上加速运动的A、B物体，恰好分离的临界条件是两物体相互间的弹力F N＝0，但此时二者的速度、加速度仍相同；图丙中，当小车向右加速运动时，小球B 恰好离开斜面的条件是B所受斜面支持力F N＝0，但此时小球与小车的速度、加速度仍相同。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，最后结合平衡条件、牛顿第二定律列方程求解。
1、[考查F-x图像]如图所示，光滑水平地面上，可视为质点的两滑块A、B 在水平外力作用下紧靠在一起压紧弹簧，弹簧左端固定在墙壁上，此时弹簧的压缩量为x0，以两滑块此时的位置为坐标原点建立如图所示的一维坐标系。
现将外力突然反向并使B向右做匀加速运动，下列关于拉力F、两滑块间弹力F N 与滑块B的位移x变化的关系图像可能正确的是(2018·黄冈质检)()
解析：选D 设A 、B 质量分别为m 、M ，对A 、B 整体，外力反向前，有F 0＝kx 0，外力刚反向后，有2kx 0＝(m ＋M )a ；
匀加速过程: 隔离物体A ，有k (x 0－x )－F N ＝ma ，
隔离物体B ，有F ＋F N ＝Ma ，解得F N ＝kx 0+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
M m M m －kx ， F ＝kx ＋kx 0，
当F N ＝0时可得x ＝+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
M m M m x 0<x 0，此时两物块脱离，力F 达到最大，之后保持不变，但x ＝0时，F ＝kx 0≠0，故选项A 、B 、C 错误，D 正确。
2、质量m A =10kg 的物块A 与质量m B =2kg 的物块B 放在倾角θ=300的光滑斜面上
处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B 连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数k=400N/m ，现给物块A 施加一个平行于斜面向上的F ，使物块A 沿斜面向上做匀加速运动，已知力F 在前0.2s 内为变力，0.2s 后为恒力，求：（g=10m/s 2）
1.力F 的最大值与最小值
2.力F 由最小值到最大值的过程中，物块A 所增加的重力势能。
答案：100N 60N 5J
3、如图所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两
个质量均为m =12kg 的物体A 、B 。
物体A 、B 和轻弹簧竖立静止
在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物
体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整
个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g =10m/s 2 ，求：
（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。
（2）此过程中外力F 所做的功。
解：(1)A 原来静止时：kx 1=mg ①
当物体A 开始做匀加速运动时，拉力F 最小，设为F 1，对物体A 有： F 1＋kx 1－mg =ma ②
当物体B 刚要离开地面时，拉力F 最大，设为F 2，对物体A 有：
F 2－kx 2－mg =ma ③
对物体B 有：kx 2=mg ④
对物体A 有：x 1＋x 2＝22
1at ⑤ 由①、④两式解得 a =3.75m/s 2 ，分别由②、③得F 1＝45N ，F 2＝285N
(2)在力F 作用的0.4s 内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：
W F =mg (x 1＋x 2)+=2)(2
1at m 49.5J
4、一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量均不计，盘内放一个质量12m kg =的静止物体P ，弹簧的劲度系数800/k N m =。
现施加给P 一个竖直向上的拉力F ，使P 从静止开始向上做匀加速运动。
已知在头0.2s 内F 是变力，在0.2s 以后，F 是恒力，取210/g m s =，求拉力F 的最大值和最小值。
解析：根据题意，F 是变力的时间0.2t s =，这段时间内的位移就是弹簧最初的压缩量S ，由此可以确定上升的加速度a ，
()121000.15800mg KS mg S m K ⨯====， 由212S at =得：()a S t m s ==⨯=2201502
75222.../ 根据牛顿第二定律，有：
F mg kx ma -+=
得：()F
m g a kx =+- 当x S =时，F 最小
()()F m g a ks m g a mg ma N min .()=+-=+-==⨯=127590 当x =0时，F 最大
()()()()F m g a k m g a N max .=+-⋅=+=+=0121075210
∴拉力的最小值为90N ，最大值为210N
5、劲度系数为k 的弹簧下面挂一质量为m 的物体A ，现用一质量
为1/3 m 的木板B 托住物体A ，使A 向上运动最后使弹簧压缩。
若突然撤去木板B ，A 的瞬时加速度为a （g ＜a ＜4g ），现用手控
制木板B ，使B 向下做匀加速直线运动，加速度为a /4．
(1)在A 、B 分离时，弹簧处于什么状态？
(2)从B 开始做匀加速运动开始到A 、B 分离一共经历多长时间?
(3)在A 、B 一起运动的过程中，人手作用于木板B 的作用力最大、最小各是多少？
解析：（1）A 、B 分离时，A 受到两个力的作用，加速度a ＇＝1a 4
＜g ，故确定此时弹簧对A 施以向上拉力，弹簧是伸长的。
设伸长量为x 1 ，则
mg － kx 1 ＝ m 1a 4 ， x 1＝ m （g － 1a 4
）/ k . （2）设开始运动时，弹簧压缩量为x 0 ，
kx 0 ＋ mg ＝ m a ， x 0 ＝ m （a － g ）/ k .
A 、
B 一起运动的位移x ＝ x 0 ＋ x 1＝ 3ma 4k
， s ＝ 1/2· a ＇t 2 , t ＝√2s/a ＇＝ √（32 ma ）/（14
ak ）＝ √6m/k . （3）要保证A 、B 一起匀加速运动，突然手持B 向下加速瞬间，加速度为
1/4 a ，人手应作用B 上向上的力，且作用在B 上的力应该不断减少，
开始最大为F max ，A 、B 分离时最小设为F min 。
由
对整体： kx 0 ＋ (m ＋ 1m 3)g － F max ＝ (m ＋1m 3) 1a 4
， F max ＝ 1mg 3 ＋ 2ma 3
， 对B ：1mg 3 － F min ＝ 1m 3·1a 4
， F min ＝ 1mg 3
－ 1ma 12. 或以初始位置为坐标原点，向下建立直角坐标系： 牛二：44a mg+k X -X F = m 334
0（）— 41mg+ma-mg kX ma=F 33——即12F=mg+ma kX 33
—
X=0 F max＝1
mg
3
＋
2
ma
3
X＝X0＋X1＝
m a-g
k
（）
+
1
m g-a
4
k
（）
=
3ma
4k
F min ＝
1
mg
3
－
1
ma
12
.
6.如图所示，在光滑水平面上，放置着A、B两个物体。
A、B紧靠在一起，其质量分别为m A＝3 kg，m B＝6 kg，推力F A作用于A上，拉力F B作用于B上，F A、F B大小均随时间而变化，其规律为F A＝(12－2t)N，F B＝(6＋2t)N。
问从t ＝0开始，到A、B相互脱离为止，A、B的共同位移是多少。
解析：F A、F B的大小虽随时间而变化，但F合＝F A＋F B＝18 N 不变，故开始一段时间内A、B共同做匀加速运动，A、B分离前，对整体有：F A＋F B＝(m A ＋m B)a①
设A、B间的弹力为F AB，对B有：F B＋F AB＝m B a②
由于加速度a恒定，则随着t的增大，F B增大，弹力F AB逐渐减小，当A、B恰好分离时，A、B间的弹力为零，即F AB＝0③
将F A＝(12－2t)N，F B＝(6＋2t)N代入①得：a＝2 m/s2，
结合②③得：t＝3 s，
A、B相互脱离前共同位移为：x＝
1
2at
2，
代入数值得：x＝9 m。
答案：9 m
X。