高中文科数学解三角形部分整理一 正弦定理 （一）知识与工具:正弦定理：在△ＡBC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===。

变形:::sin :sin :sin a b c A BC =.在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。

注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中,注意三角形中其他条件的应用:(1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2）三角函数的恒等变形s ｉn(A+B)=ｓｉｎC,ｃos （A ＋Ｂ)＝－ｃosC ，s ｉn 2B A +＝cos 2C ，cos 2BA +=si ｎ2C(３）面积公式：S=21absin Ｃ＝Rabc 4＝2R ２s ｉnA ｓinBsinC（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形例一、在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于( ) A ．1 B.1- C ．32 Ｄ.32-【解析】C ．00tan 30,tan 302bb ac b c b a=====-=题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

例二、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于（ )A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或【解析】D ． 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150题型３ 三角形解的个数的讨论方法一:画图看方法二：通过正弦定理解三角形,利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

例三、等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060,则底边长为(D ） A.2 Ｂ．23Ｃ.3 Ｄ．32二 余弦定理（一）知识与工具:ａ２=b２＋c 2﹣2bcco ｓAc ｏsA ＝bca 2cb 222-+b 2=a 2+c ２﹣2ａｃcosB ｃos Ｂ=acbc a 2222-+ｃ２=ａ2＋ｂ2﹣2abcosCco ｓＣ=abc b a 2222-+注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时,常使用余弦定理。

在变形中,注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°；(2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

(3)面积公式:Ｓ=21ab ｓinC ＝R abc 4=2R 2sinAsin Ｂs ｉnC（4)三角函数的恒等变形。

(二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型 题型１ 利用余弦定理公式的原型解三角形例一、在△A ＢC 中,若=++=A c bc b a 则,222_____＿＿_＿。

【解析】120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=题型2 利用余弦定理公式的变形（边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状结论：根据余弦定理,当ａ2+b 2<ｃ2、b 2+c 2＜a ２、c 2+a 2<b 2中有一个关系式成立时,该三角形为钝角三角形,而当a 2+b ２>c 2、b ２+c ２>a 2,c 2＋a 2>ｂ２中有一种关系式成立时,并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法:(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状。

例一、在△ＡBC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△A ＢC 的形状是什么？ 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-=cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=所以△A ＢC 是直角三角形。

（2)应用题 求 距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求 高度底部可达底部不可达题型1 计算高度 题型２ 计算距离题型３ 计算角度 题型4 测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形,无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。

例一、（三）其他常见结论１三角形内切圆的半径：2S r a b c∆=++，特别地,2a b c r +-=斜直2三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3两内角与其正弦值:在△ＡBC 中，B A B A sin sin <⇔<，…例一、在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12 B.221C ．28 D.36【解析】D 011cos ,60,sin 22ABC A A S bc A ====基础练习一、选择题1．若A 为△AB Ｃ的内角，则下列函数中一定取正值的是( )A.A sin B ．A cos C.A tan D.Atan 12．在△ABC 中，角均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 D.等腰三角形3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） Ａ.090 B.0120 Ｃ.0135 D.0150 4.在△A ＢC 中,::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3 B ．3:2:1 C.2 D.2:5．在△ABC 中,若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2 B.A b cos 2 C.B b sin 2 D ．B b cos 26.在△AB Ｃ中,若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是( ） A.直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D.等腰三角形7．在△A ＢＣ中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 Ｂ．060 Ｃ.0135 D ．0150 8.在△ABC 中，若tan2A B a ba b--=+,则△ＡBC 的形状是（ ) A.直角三角形 Ｂ.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形二、填空题1.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,222_＿_＿_＿___。

２.在△AB Ｃ中，若====a C B b 则,135,30,20______＿_＿。

３.在△ＡＢC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =__＿__________。

4.若在△ABC 中,060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++＝_______。

5.在△A ＢC 中，若,12,10,9===c b a 则△ＡBC 的形状是__＿______。

6.在△AB Ｃ中，若=+===A c b a 则226,2,3_＿＿___＿_＿。

三、解答证明题1． 在△ABC 中,0120,,ABCA c b a S =>==,求c b ,。

2． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证:1=+++c a b c b a 。

3．在△ABC 中，若223cos cos 222C A b a c +=,则求证:2a c b +=４.在△ABC 中,求证:)cos cos (aA bB c a b b a -=-【答案】选择题1.Ａ 0,sin 0A A π<<>2.C cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角,则,,222A B A B C πππ->+<>3.B 设中间角为θ,则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 4.Ｃ12,,,::sin :sin :sin ::2632222A B C a b c A B C πππ====== 5.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 6.D sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形７.B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 8.D 2cossinsin sin 22tan 2sin sin 2sin cos 22A B A BA B a b A B A B A Ba b A B +----===+-++, tan2tan ,tan 022tan 2A B A B A B A B ---==+,或tan 12A B += 所以A B =或2A B π+=填空题１．0120 22201cos ,12022b c a A A bc +-==-= 2．26-00sin 15,,4sin 4sin154sin sin sin a b b A A a A A B B ====== 3. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，令7,8,13a k b k c k === 22201cos ,12022a b c C C ab +-==-= 4.3392211sin 4,13,222ABC S bc A c c a a ∆==⨯====sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 5.锐角三角形 C 为最大角,cos 0,C C >为锐角6． 060222231cos 22b c a A bc -+-====四、解答证明题1.解:1sin 4,2ABC S bc A bc ∆=== 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=，而c b >所以4,1==c b２.证明:要证1=+++ca bc b a ，只要证2221a ac b bc ab bc ac c +++=+++， 即222a b c ab +-=而∵0120,A B +=∴060C =2222220cos ,2cos 602a b c C a b c ab ab ab+-=+-==∴原式成立。