专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形一、选择题1．(2019年全国Ⅰ卷)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．32．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．3．(2018全国卷Ⅲ)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 4．（2017新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )B A C C +- 0=，2a =，c =C =A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π5．（2016全国I ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =A B C ．2 D ．3 6．（2016全国III ）在ΔABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =A ．310B ．10C ．5D ．107．（2016山东）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A =A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π68．(2015广东)设ΑΒC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =A ．3 B． C ．2 D9．(2014新课标2)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．110．（2014重庆）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 11．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2c =2()6a b -+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 12．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m13．（2013新课标1）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．514．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π15．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠=A B C D 16．(2013陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定17．(2012广东)在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD 18．（2011辽宁）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D19．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA B C D20．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题21．(2019年全国Ⅱ卷)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =___．22．(2019年浙江卷)在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=___________．23．(2018全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为__．24．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．25．(2018北京)若ABC △222)a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠= ；ca的取值范围是 ．26．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．27．（2017新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B =28．（2017新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =o，b =3c =，则A =_______．29．（2017浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是_______，cos BDC ∠=_______．30．（2016全国Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b =_____．31．（2015北京）在△ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠= _________． 32．(2015重庆)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c =________．33．（2015安徽）在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC ．34．(2015福建)若锐角ABC ∆的面积为5AB =，8AC =，则BC 等于 ．35．(2015新课标1)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=o，2BC =，则AB 的取值范围是_______．36．（2015天津）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 ．37．（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD =m ．38．（2014新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．CNABM39．（2014广东）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos b C +cos 2c B b =，则=ba． 40．（2013安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____．41．（2013福建）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，2sin 3BAC ∠=， 32AB =3AD =，则BD 的长为_______________．ABC42．（2012安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是 ．①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43．（2012北京）在ABC ∆中，若12,7,cos 4a b c B =+==-，则b = ．44．（2011新课标）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为____．45．（2011新课标）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_ __． 46．（2010江苏）在锐角三角形ABC ，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=_______．47．（2010山东）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为 ．三、解答题48．(2019年全国Ⅲ卷)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． (1)求B ；(2)若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．49．(2019年天津卷)在∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2+=b c a ，3sin 4sin =c B a C ．(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)求sin(2)6π+B 的值． 50．(2019年江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若3=a c ，=b 2cos 3=B ，求c 的值； (2)若sin cos 2=A B a b ，求sin()2π+B 的值． 51．(2019年北京卷)在∆ABC 中，3=a ，–2=b c ，1cos 2=-B ． (Ⅰ)求b ，c 的值； (Ⅱ)求sin()+BC 的值．52．(2018天津)在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． (1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．53．（2017天津）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值．54．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-u u u r u u u r，3ABC S ∆=，求A 和a ．55．（2015新课标2）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ) 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长． 56．（2015新课标1）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（Ⅰ）若a b =，求cos ;B（Ⅱ）若90B =o ，且a =ABC ∆的面积．57．（2014山东）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知3a =，cos ,32A B A π==+． （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ∆的面积．58．（2014安徽）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin()4A π+的值．59．（2013新课标1）如图，在ABC ∆中，∠ABC ＝90°，AB ，BC =1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．（Ⅰ）若PB =12，求P A ； （Ⅱ）若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．60．（2013新课标2）ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．61．（2012安徽）设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．62．（2012新课标）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +3sin 0a C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．63．（2011山东）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知cos 2cos 2cos A C c aB b --=． （I ）求sin sin CA的值；（II ）若1cos 4B =，2b =，ABC ∆的面积S ．64．（2011安徽）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a 3，b 2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高．65．（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距3海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？66．（2010江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．Hh dβαDB C（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。