“信号与系统”2003/2004第二学期 期末考试 B 卷一、给定某系统的微分方程为)()(2)(6)(5)(22t e t e dt dt r t r dt d t r dtd +=++，初始状态为2)(0=-=t t r dt d，2)(0=-=t t r ，试求当)()(t u e t e t -=时的完全响应。

(12分) 二、已知f (t )的傅里叶变换为)(1ωF ，求f (6-2t )的傅里叶变换)(2ωF 。

(8分) 三、（1）求)]2()1()[1()(----=t u t u t t f 的单边拉普拉斯变换。

（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+s s 2ln 的拉普拉斯反变换。

(16分)四、已知某因果稳定系统的系统函数为651)(2+++=s s s s H 。

（1）求系统的单位冲激响应)(t h ； （2）画出系统的零、极点分布；（3）粗略画出系统的频率响应特性。

（4）若有输入信号t t e sin 2)(=，求系统的稳态响应。

(14分)五、如下图中，cos(w 0 t ) 是自激振荡器，理想低通滤波器H 1(w )为0)]2()2([)(1jwt e w u w u w H -Ω--Ω+= 且w 0 ≥ Ω（1）虚框中系统的冲激响应h(t)；（2）若输入e(t) 为)cos()sin(02t w t t ⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩ时，求输出r(t)。

(10分)六、已知LTI 系统的单位样值响应)()(n u n h n α=，10<<α，激励序列)()(n u n x n β=，10<<β，且αβ≠，求系统的输出序列)()()(n h n x n y *=。

（8分）七、已知因果序列的z 变换)21)(1(1)(1121------++=z z z z z X ，求序列的初值x (0)和终值)(∞x 。

（8分）八、求()()11212111)(------++=z z z z z X 所对应的左边序列x L (n )和右边序列x R (n )和双边序列x D (n )。

(10分)九、已知离散系统差分方程表示式 )()1()(31n x n y n y =--（1）求系统对单位样值信号的零状态响应；（2）若系统的零状态响应为)(31 213)(n n n u n y ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求激励信号)(n x 。

（3）画出系统函数)(z H 的零极点分布图及幅频响应特性。

（14分）“信号与系统”2003/2004第二学期期末考试B 卷参考答案一、(共12分)由方程形式易得特征根为21-=α，32-=α，从而可设零输入响应为())()(3221t u e C e C t r t t zi --+= （2分）将初始状态代入，得⎩⎨⎧=--=+23222121C C C C 解得⎩⎨⎧-==6821C C 于是零输入响应为 ())(68)(32t u e e t r t t zi ---=（2分） 由输入信号形式可设特解形式为 )()(t u Ae t r t f -=（1分） 将)()(t u e t e t -=和)(t r f 代入原微分方程，得)()(2)(6)(5)(t u Ae t u Ae t u Ae t u Ae t u Ae t t t t t -----+-=+-解得21-=A ，即 )()(21t u e t r tf --=（2分）设零状态响应为())()(213221t u e e B e B t r tt t zs ----+=（1分） 以零状态代入上式得⎩⎨⎧=+--==-+=032)0(0)0(21212121B B r B B r zszs & 解得⎩⎨⎧-==21211B B 于是零状态响应为 ())()(213212t u e e e t r tt t zs -----=（2分） 全响应为())(69)()()(213212t u e e e t r t r t r tt t zs zi -----=+=（2分）二、（共8分）分）（分）（4 2214 ))3(2()26()()(13)3(13122⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-==-∞+∞----+∞∞--+∞∞--⎰⎰⎰ωωωωωωωF e dt e t f e dte tf dt et f F j t j j t j tj或分）（分）（分）（4 221)]26([ 2 6,22 ||1)]([ 311/11ωωωωj a b j e F t f FT b a e a F a b at f FT --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴-=-=⎪⎭⎫⎝⎛=-Θ三、(共16分)（1）分）（分）（4 1114 ] )2()2()2()1()1[()]}2()1([)1{()(2222ss s e s e se s t u t u t t u t LT t u t u t LT s F -----=-------=---⋅-= （2）s s s s ln )2ln()2ln(-+=+ ss s F ds d 121)(-+= （4分） 其对应的拉氏反变换为 )()()(2t u t u et f t t-⋅=⋅--，即：)()1()(2t u te tf t --=（4分）四、(共14分)3221)3)(2(1651)(2+++-=+++=+++=s s s s s s s s s H （3分） (1)对)(s H 进行拉氏逆变换，有())(2)(32t u e e t h t t --+-= （3分）(2)零点11-=z ，极点21-=p ，32-=p 。

（2分） (3)频率响应特性应为带通形状，图略。

（2分） (4)515516511651)(2=++=++-+=+++===j j j j s s s s H j s j s （2分）[]51)()(*===-=j s j s s H s H []t e s H e s H j t r jt j s jt j s sin 52)()(1)(=⋅-⋅=--== （2分） 五、(共10分)理想低通滤波器的单位冲激响应为 ()0122)(t t Sa t h -ΩΩ=π(3分)(1) 当输入信号为冲激信号时的响应即为冲激响应()[]()0111022)()(*)()(*cos )()(t t Sa t h t h t t h t w t t h -ΩΩ====πδδ (3分)(2) 输入信号实为截止频率为Ω的采样信号自乘后经余弦信号调制，其频谱在()Ω+Ω-2,200w w 之间，而系统为余弦解调系统，所以输出信号为()[]()[]201021)(*cos )()(t t Sa t h t w t e t r -Ω== (4分) 六、（共8分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⋅-=----11111111111)(z z z z z Y ββααβαβα（5分）)()(1)(11n u n y n n ++--=βαβα（3分） 七、（共8分）根据初值定理有 121)(1(1lim )(lim )0()1121=--++==----∞→∞→z z z z z X x z z （4分）由于X(z)有一个极点z=2在单位圆外，因而)(∞x 不存在。

（4分）八、(共10分)()()111121215.313212111)(-------+--+=--++=z z z z z z z X （3分） 左边序列为 )1(25.3)1(3)(5.0)(--⨯---+=n u n u n n x n L δ （2分） 右边序列为 )(25.3)(3)(5.0)(n u n u n n x n R ⨯+-=δ （2分） 双边序列为 )(3)(5.0)1(25.3)(n u n n u n x n D -+--⨯-=δ （3分）九、(共14分)(1) 对原差分方程进行Z 变换，得到系统函数 3/11)(1--=z z H （2分） 对系统函数进行逆Z 变换，得到单位抽样响应)(31)(n u n h n⎪⎭⎫⎝⎛= （2分）(2) 对输出序列进行Z 变换，有⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----111113112112131132113)(z z z z z z Y （2分）从而有 ()()12112113113112112111111)()()(-------=---==zz zz zzz H z Y z X （2分） 系统的响应为 )1(21)1(2121)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n u n u n x nn （2分）（3）根据系统函数可得原系统的零、极点分别为：零点01=z 极点311=p （2分）根据零、极点分布可判断原系统的幅频响应特性为低通状，图略。

（2分）。