一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．以下事件是随机事件的是( ) A ．下雨屋顶湿 B ．秋后柳叶黄 C ．有水就有鱼 D ．水结冰体积变大答案 C解析 A ，B ，D 是必然事件．2．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为25，它不是豆沙馅包子的概率为710，则素馅包子的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由题意，可知这个包子是肉馅或素馅的概率为710，所以它是素馅包子的概率为710－25＝310，故素馅包子的个数为10×310＝3. 3．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为( ) A ．两事件是互斥但非对立事件 B ．两事件是对立事件C ．两事件的和事件是不可能事件D ．两事件的积事件是必然事件 答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．4．(2018·钦州期中)根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( ) A ．15%B ．20%C ．45%D ．65% 答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.5．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为( ) A ．600 B ．787 C ．不少于473 D ．不多于473答案 C解析 由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．6．如图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则下列对指针停留在各区域的可能性的说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动的圈数决定答案 B解析 哪个区域的张角大，则指针停留在哪个区域的可能性大，显然蓝、白区域的角度大，故选B.7．小丽和小明一起用A ，B 两枚均匀的小正方体(小正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小丽掷出的A 小正方体朝上的数字为x ，小明掷出的B 小正方体朝上的数字为y ，来确定点P (x ，y )，那么他们各掷一次所确定的点P (x ，y )落在抛物线y ＝－x 2＋4x 上的概率为( )A.16B.19C.112D.118 答案 C解析 根据题意，两人各掷小正方体一次，每人都有6种可能性，则点P (x ，y )的情况有6×6＝36种可能，而y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即(x －2)2＋y ＝4，易得在抛物线上的点有(2,4)，(1,3)，(3,3)共3种．因此满足条件的概率为336＝112. 8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4 答案 D解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解． 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.9．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法( ) A ．公平，每个班被选到的概率都为112B ．公平，每个班被选到的概率都为16C ．不公平，6班被选到的概率最大D ．不公平，7班被选到的概率最大 答案 D解析 P (1)＝0，P (2)＝P (12)＝136，P (3)＝P (11)＝118，P (4)＝P (10)＝112，P (5)＝P (9)＝19，P (6)＝P (8)＝536，P (7)＝16，故选D.10．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ②从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ③向一个边长为4cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1cm 的概率． A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析 ①是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；②不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；③是几何概型，因为在边长为4cm 的正方形和半径为1cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．11．如图所示，在正方形围栏内均匀地撒入米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则小鸡在正方形的内切圆中的概率是( )A.14B.π4C.13D.π3 答案 B解析 设正方形的边长为2R . 由几何概型的概率公式可得P ＝πR2R 2＝π4， 即小鸡在正方形的内切圆中的概率为π4.12．(2018·湖北省部分重点中学考试)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A.19B.110C.15D.18答案 B解析 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只． 答案 12000解析 设保护区内有这种动物x 只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以1200x ＝1001000，解得x ＝12000.14．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________(“公平”或“不公平”)． 答案 公平解析 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”“反正”“正反”“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是12，因此游戏是公平的．15．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋P B，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43，所以54<a ≤43.16．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．答案 23解析 由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2,3,4,6,8,9,10,12，共8个，故所求的概率为812＝23.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)体育彩票的抽奖方式是从写在36个球上的不同号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，则应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？解 体育彩票抽奖时所用的标有36个号码的球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的． 18．(12分)(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)两个CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都在卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈这一概率有多大？解 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离，于是0≤x ≤30,0≤y ≤40，则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制范围内，则所有这样有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，他们可以通过对讲机交谈这一事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生(如图)．因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤25的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤625，图中的长方形区域代表总的基本事件，阴影部分代表所求事件，长方形区域的面积为1200平方公里，而阴影部分的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14π·(25)2＝625π4(平方公里)．于是有P ＝625π41200＝625π4800＝25π192.19．(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解 方法一 (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个，所以所求的概率P ＝910.。