江苏省20XX 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。

3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前得字母填在题后的括号内）。

1. 已知312lim1x x ax b x →+-=-存在，则常数,a b 的值分别为（ ） A. 1,4a b ==- B. 1,4a b == C. 1,4a b =-=- D. 1,4a b =-=2. 函数222()(1)(4)x xf x x x x -=--的可去间断点是（ ）A. 0x =B. 1x =C. 2x =-D. 2x =3.当0x →时，下列无穷小中与x 不等价的是（ ）A. 210x x - B. 2ln(1)x x+ C. 2sin(2sin )x x + D. 221x e x -- 4.设()f x 的一个原函数是2ln x ，则2(1)xf x dx '+⎰（ ） A.22ln(1)1x c x +++ B. 222ln (1)1x c x +++ C. 2ln(1)x c ++ D. 22ln (1)x c ++5.下列级数绝对收敛的是（ ）A.1(1)nn ∞=-∑B. 1(1)nn ∞=-∑ C. 11(1)ln nn n n ∞=+-∑D.1(1)lnn n ∞=-∑6.二重积分11(,)xdx f x y dy -⎰交换积分次序后得（ ）A.11(,)ydy f x y dx -⎰B.110(,)y dy f x y dx -⎰C.11(,)ydy f x y dx +⎰D.11(,)ydy f x y dx -⎰二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

7、若2lim()8xx x a x a→∞+=-，a = 8、设()f x 是连续函数，2()()xe x F xf t dt -=⎰，则()F x '=9、以(1,2,0),(1,3,1),(2,1,2)A B C --为顶点的三角形面积= 10、设函数(,)z z x y =由方程23z e z x y -=所确定，则zx∂=∂ 11、定积分121(x dx -=⎰12、幂级数1(2)3nnn x n ∞=+∑的收敛域为 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

13、求极限20tan sin limln(12)x x xx x →-+14、设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+所确定，求(0),(0)y y '''15、求不定积分16、计算定积分30⎰17、求通过平面1:240 x yπ+-=和平面2:20 y zπ+=的交线及点0(2,1,1)M--的平面方程。

18、设22(sin ,)xz f e y x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

19、计算二重积分2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 是由1,2xy y x ==以及x 轴所围成的平面闭区域。

20、已知2(1)xy x e =+是二阶常系数非齐次线性方程22xy y y e αβ'''++=的一个特解，试确定常数,αβ的值，并求该方程组的通解。

21、 设函数21()x f x x+=（1）求函数()y f x =的单调区间、极值。

（2）求函数()y f x =图形的凹凸区间、拐点及渐进线方程。

22、设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成的图形面积为1S ,它们与直线1x =所围成的平面图形面积为2S（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值。

（2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积。

23、证明：当0x >时，22(1)ln(1)2x x x x ++<+24、设20()()0x f x x x x ϕ>=≤⎩，其中()x ϕ为有界函数，证明：()f x 在0x =处连续且可导。

江苏省20XX 年普通高校“专转本”统一考试模拟试（一）解析一、单项选择题1. 已知312lim1x x ax b x →+-=-存在，则常数,a b 的值分别为（ ） A. 1,4a b ==- B. 1,4a b == C. 1,4a b =-=- D. 1,4a b =-= 解：该题考察等价无穷小阶的比较，求极限等概念与方法。

因为1lim(1)0x x →-=这表明1(1)x -是1x →时的一阶无穷小； 312lim 1x x ax b x →+-=-存在，可推出31lim(2)0x x ax →+-=，同阶无穷小量或是高阶无穷小量的商式极限才有可能存在，这是无穷小量阶的比较理论。

由31lim(2)0x x ax →+-=可得 120a +-=，解得1a =。

033211112231lim lim lim 4111a x x x x ax x x xb x x =→→→+-+-+====-- 故答案选择B2. 函数222()(1)(4)x xf x x x x -=--的可去间断点是（ ）A. 0x =B. 1x =C. 2x =-D. 2x = 解：求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域，因为初等函数在定义域内都是连续函数，只有定义域的分段点才有可能是间断点。

本题的间断点有可能为0,1,2,2x x x x ====-，下面逐个考察当0x =时，因函数表达式中含有绝对值，从而必须分左右极限加以讨论。

220002(2)1lim ()lim lim (1)(4)(1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x x x →+→+→+--===-----+ 220002(2)1lim ()lim lim (1)(4)(1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x x x →-→-→+--===------+ 综上可知，0x =是跳跃间断点；下面继续判断1,2,2x x x ===-是否为间断点。

当被讨论的函数是分段函数，并且分段点左右两边的表达式互不相同时，判断分段点的连续性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。

1x =是无穷间断点，这是因为2211112(2)1lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →→→→--====∞----+-+； 2x =是可去间断点，这是因为2222222(2)11lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)4x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →→→→--====-----+-+； 2x =-是无穷间断点，这是因为2222222(2)1lim ()lim lim lim (1)(4)(1)(2)(2)(1)(2)x x x x x x x x f x x x x x x x x x x →-→-→-→---====∞----+-+； 从而该题选择D3.当0x →时，下列无穷小中与x 不等价的是（ ）A. 210x x - B. 2ln(1)x x+ C. 2sin(2sin )x x + D. 221x e x -- 解：判断等价无穷小或是无穷小的阶，结合本题，常用的方法是考察0()lim 0kx x c x α→=≠，则说明无穷小量()x α是k 阶无穷小。

进一步0()lim 1kx x cx α→=，说明无穷小量()x α与kcx 是等价无穷小。

本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与x 是否为等价无穷小，只需判断0()lim 1x x xα→=何时成立。

2010lim 1x x x x →-= 220l n (1)l i m 1x x x →+= 200214lim lim 11x x x x e x e xx →→---== 2200sin(2sin )2sin lim lim 2x x x x x x x x →→++==⇒202sin lim12x x x x →+=⇒0x →时，22sin ~2x x x +从而C 选项是错误的。

对于寻找一个无穷小量的等价无穷小量，这是一个非常重要的问题，这涉及到求极限，无穷小阶的比较，级数敛散性的判断等许多问题。

学习过程中还需掌握以下一些结论：同“小”取“小”：有限个无穷小量的代数和，其阶数取最低的无穷小量的阶。

例如：0x →时，2537x x x +-，其阶数为1阶，它与x 是同阶无穷小，且为等价无穷小。

同“大”取“大”：有限个无穷大量的代数和，其阶数取最高的无穷小量的阶。

例如：x →∞时，2537x x x +-，其阶数为5阶，它与5x 是同阶无穷大，且与57x -是等价无穷大。

以上结论的证明不难，大家可尝试使用以上结论求解本题。

4.设()f x 的一个原函数是2ln x ，则2(1)xf x dx '+⎰（ ）A.22ln(1)1x c x +++B. 222ln (1)1x c x +++ C. 2ln(1)x c ++ D. 22ln (1)x c ++ 解：该题是考察函数与原函数之间的关系。

本题有两种思路，一种是对()F x 分别求两次导数，可得()f x '，然后再积分：另外一种是先对2(1)xf xdx '+⎰积分，再根据已知条件求解。

解题时除了考察可行性，还要考虑计算效率。

222211(1)(1)(1)(1)22xf x dx f x d x f x c ''+=++=++⎰⎰ 22ln ()()(ln )xf x F x x x''===5.下列级数绝对收敛的是（ ）A.1(1)nn ∞=-∑B. 1(1)nn ∞=-∑ C. 11(1)ln nn n n ∞=+-∑D. 1(1)lnn n ∞=-∑解：考察一般项级数的是否绝对收敛，可使用正项级数敛散性的判别方法。

正项级数敛散性的判别方法通常有比较判别法，比式判别法以及根式判别法。

对于比较判别法，通常使用极限形式。

设正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，若lim 0nn nu l v →∞=≠，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑同敛同散。

该定理的意义在于寻找n u 的同阶无穷小n v ，特别的，若1l =，n u 和n v 是等价无穷小。