三、垂直平分线法
适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和做圆周运
动轨迹的一条弦，先作出过入射点速度方向的垂线，然后作弦 的垂直平分线，两垂线的交点便是圆心．
【典例3】如图,虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面
的交线，在平面右侧的空间存在磁感应强度为B的匀 强磁场，方向垂直纸面向外，O是MN上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速 率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内 各个方向．已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中 给定的P点相遇，P到O点的距离为L，不计重力及粒子间的相互 作用．
（五）
磁偏转问题圆心确定四法
带电粒子（不计重力）垂直射入匀强磁场，粒子的运动轨 迹是圆周或圆弧．这类问题是常见的典型的力学、磁场知识结 合的综合题，在高考中多次考查，是考试的难点． 求解这类问题的关键是：定圆心画出轨迹,求出半径,确定 圆心角等．其中解决带电粒子在有界磁场中的运动、确定圆心
是解题的难点．
下面介绍磁偏转问题圆心确定常用的四种方法： 一、半径法
适用情况：如果已知带电粒子的出射速度和入射速度方向，
分别作出过入射点和出射点速度方向的垂线，两垂线的交点便 是圆心．如图1所示．
【典例1】电视机的显像管中， 电子束的偏转是使用磁偏转技
术实现的．电子束经过电压为
U的加速电场后，进入一圆形匀 强磁场区，如图所示，磁场方 向垂直于圆面．磁场区的中心为O，半径为r．当不加磁场时， 电子束将通过O点而达到屏幕的中心M点．为了让电子束射到屏
幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ ，此时磁场
的磁感应强度为多大？（已知电子质量为m，电荷量为e）
【深度剖析】分别作入射点和出射点速度方向的垂线，其交点
为电子做匀速圆周运动的圆心C，以v表示电子进入磁场时的速 度，则 eU 1 mv 2
mv 2 2 evB R 又有 tan r 2 R
四、直角直径法 适用情况：如果已知带电粒子的入射速 度方向和过入射点的一条弦，先作出过入射 点速度方向的垂线，然后过弦的另一端点作 弦的垂线，两垂线的交点和入射点的连线便 是该圆的直径，作直径的中点便是圆心．
【典例4】在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形匀强磁场区
域，磁感应强度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸面内，该区 域的圆心坐标为（R,0），有一个质量为m，带电量为-q的粒子， 由静止经电场加速后从点（0，
R 2
在磁场中偏转的角度为α=2θ=60°,有 t T
2m Bq 所以粒子在磁场区域经历的时间 t m 3Bq
2
带电粒子在磁场中运动的周期为 T
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,由洛伦兹力提供向
∠OCA的角平分线与x轴相交于O′点，
过O′点作bC的垂线，垂足为A点．则 O′A=O′O=R,所以，以OA为直径的圆的磁场区域面积最小．设
mv0 2 圆形磁场区域的半径为r．由牛顿第二定律得： qv0 B R
由几何关系得：r
Smin
2 2 3 m v 0 r 2 2 2 4B q
3 R 2
（2）粒子从O点沿圆弧到A点，所经历的时间
t OA s Ab t Ab T 2m 3 3qB Rcot30
s Ab 3m v0 Bq
m 2 （ 3 ） Bq 3
所以粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间为
t t OA t Ab s O b
R 2R sin30 3mv0 3mv0 b点横坐标为 x b R 2R , 故b点坐标为 （ ,0） Bq Bq
直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x
轴正方向夹角为30°，不计重力．求：
（1）圆形磁场区域的最小面积； （2）粒子从O点进入磁场区域到达b点所经历的时间及b点坐 标．
【深度剖析】（1）由于粒子沿y轴正方 向射入，所以圆心必在x轴上，反向延 长b处的速度方向与y轴相交于C点，作
R ）沿 x轴正方向射入磁场，粒 2
子从射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重力影
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
响．试求：
（1）粒子在磁场区域经历的时间; （2）加速电场的电压.
【深度剖析】（1）因为粒子从射入到 射出磁场通过了该磁场的最大距离， 即MP应是圆形磁场区域的直径，同时
也是粒子做圆周运动的一条弦．过P点
作直线NP⊥MP，与竖直线交于N点．作 MN的中点即是粒子做圆周运动的圆心 （直角直径法）．设从M点射入磁场的 R 速度方向与半径MC夹角为θ，故 sin 2 1 即θ=30°
（1）求所考查的粒子在磁场中运动的轨道半径;
（2）求这两个粒子从O点射入磁场时的时间间隔.
【深度剖析】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R， 洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，有
mv 2 qvB R mv 解得： R Bq
（2）如图所示，为两粒子在匀强磁场中运动的轨迹图．
作图方法是：作OP的垂直平分线，分别过入射点O作入射速度1、
2的垂线．两垂线与垂直平分线的交点分别为 O1、O2，则O1、O2 为圆心，粒子1转过的角度为∠OO1P=π+θ，粒子2转过的角度
为∠OO2P=π-θ
两粒子在磁场中运动的周期均为 T 2m
qB 粒子1从O点运动到P点所用的时间为： t1 T 2 粒子2从O点运动到P点所用的时间为： t2 T 2 两粒子射入的时间间隔： t t1 t 2 T L 又因为：∠O1OP= ，故 cos 2 2R 2 4m qBL t t1 t 2 arccos qB 2mv
① ② ③
1 2mU tan r e 2
由以上各式解得： B
二、角平分线法
适用情况：如果已知带电粒子的出 射速度和入射速度方向，则入射速度方 向的延长线和出射速度方向的反向延长 线夹角的角平分线与入射速度垂线的交
点就是圆心.如图2所示.
【典例2】一质量为m、带电量为q的粒子，以速度v0从O点沿y轴 正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂