数学建模模拟试题及答案
一、填空题(每题 5 分，共 20 分)
1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是.
2. 设银行的年利率为 0.2，则五年后的一百万元相当于现在的万元.
3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：
(1) 参加展览会的人数n； (2)气温T 超过10o C；
(3)冰淇淋的售价p .
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .
4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局 A 出发走遍所有 A
长方形街路后再返回邮局 .若每个小长方形街路的边长横向
均为 1km，纵向均为 2km，则他至少要走 km .
二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)
1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一
多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生 1000 例，患者中有一半当年可治愈 .若 2000 年底时有
1200 个病人，到 2005 年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数
只是趋向 2000 人，但不会达到 2000 人，试判断这个说法的正确性 .
三、计算题(每题 20 分，共 40 分)
1. 某工厂计划用两种原材料A, B 生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为 22 和 20 个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为 1 、1 个单位，产值为 3 (百元)；乙的需要量依次为 3、1 个单位，产值为 9 (百元)；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为 6 个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过 5： 2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
(1) 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由 .
(2) 原材料的利用情况 .
2. 两个水厂A
1 , A
2
将自来水供应三个小区B1 , B2 , B3 , 每天各水厂的供应量与各小区的
需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表 .试安排供水方案，使总供水费最小？
四、 综合应用题(本题 20 分)
某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入 水库.为了防洪，须调节泄洪速度 .经测算，若打开一个泄洪闸， 30 个小时水位降至安全线， 若打开两个泄洪闸， 10 个小时水位降落至安全线 .现在，抗洪指挥部要求在 3 个小时内将水 位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决 .
注：本题要求按照五步建模法给出全过程 .
小区 单价/元
水厂
A
1
A
供应量 / t
170
B
3
4
B
1
1 0
7 1
B
2
6
数学建模 06 春试题模拟试题参考解答
一、填空题(每题 5 分，共 20 分)
1. 奇数顶点个数是 0 或 2；
2. 约 40.1876 ；
3. N = Kn(T
10) / p, (T > 10 0 C), K 是比例常数； 4. 42.
二、分析判断题(每题 10 分，共 20 分)
1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：
盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点 的温度等.
注：列出的因素不足四个，每缺一个扣 2.5 分。

2. 解： 根据题意可知：下一年病人数 =当年患者数的一半+新患者. 于是令 X 为从 2000 年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：
X = 0.5X +1000
n+1 n
得递推公式 X n =
1
2n X 0 + 2000(1 2
1
n ). 由 X 0 = 1200 , 可以算出 2005 年时的患者数 X 5 = 1975 人. 由递推公式容易看出， X 是单调递增的正值数列， 且X
2000 , 故结论正确 .
三、计算题(每题 20 分，共 40 分)
1. 解：设 x 1 , x 2 表示甲、乙两种产品的产量，则有
原材料限制条件： x 1 + 3x 2
22和x 1 + x 2 20,
又由产品乙不超过 6 件以及两种产品比例条件有另外两个条件：
x 2 6, 以及 2x 1 5x 2 0,
n n
n
目标函数满足max z = 3x1 + 9x2 , 便可以得到线性规划模型：
max z = 3x
1+ 9x
2
|
1
|2x -
( x 1 +
| x +
s.t.〈
x 11
,
3x
2
x
2
x 2
5
x
2
x
2
共 共 共 共
>
2
2, 2
0, 6,
0, 0.
(1)使用图解法易得其最优生产方案将有无穷多组(这是因为第一个约束条件所在直 线的斜率与目标函数直线的斜率相等) ，其中的两个方案为该直线段上的两个端点：
X 1 = (4,6)T , X 2 = (10,4), 目标值均为 z = 66 (百元) .
(2)按照上面的第一个解，原材料 B 将有 10 个单位的剩余量，而按照第二个解，原 材料 B 将有 6 个单位的剩余量 .不论是哪一个解，原材料 A 都全部充分利用 .
2. 解： 本问题可以看成是一个产销不平衡的运输问题，属于供小于求问题 .为此，虚 设一个水厂 A ， 其供水量为30 吨，相应的运价均定为 0，便得到一个产销平衡的运输问题
如下表所示：
小区 单价/元 水厂
A
1
A
2
A
供应量/ t
170
200
B
2
6
5
B
3
4
6
B
1
10
7
再利用表上作业法求解，即可获得供水费用最低的供水方案为：
A 1——20) B
2
, A
1
——150) B
3
, A
2
——130) B
1
, A
2
——70) B
2
,
小区B 将有 30 吨水的缺口 .
总费用为6根20+4根150+7根130+5根70=1980(元).
四、综合应用题(本题 20 分)
解： (一)问题分析
1. 一段时间内需要下泄的水量主要由两部分组成：已有的超过安全线部分的水量和上
1
游河水不断流进的部分水量；
2. 每个泄洪闸的泄洪速度是否相同的应该予以考虑，而每小时流入水库的水量也在考虑之列.
(二)模型假设
1. 设泄洪开始时，超过安全线的水量为定值x(m3 )；
2. 上游流入水库的流量为定值z(m3 ) / h；
3. 每个泄洪闸的泄洪速度是相同的，均为y(m3 ) .
(三)模型建立
依据假设以及题设条件，应有以下两个式子成立
= 30, (1)
= 10, (2)
此即所求数学模型 .
(四)模型求解
这是一个含有三个量的二元方程组，需要消去一个参数，为此，由( 1) 、(2)两式得
x = 30z, (3)
y = 2z, (4)
若同时打开k 个泄洪闸，则所需要的时间为
t=
x + tz
(5)
,
ky
将(3)、(4)两式代入(5)式，化简后可解出
30
t=,
2k一1
于是按照要求应有上式小于 3，便可解得k > 5.5, 故应该至少打开 6 个闸门.
(五)模型分析
1. 本问题将问题的解决归结为流进与流出水量的比较后，通过等量关系获得模型 .
尽管超水位的具体水量值并不清楚，但不影响问题的解决 .
2. 将上游流入水库的流量设为定值，自然是为了模型建立简化 .实际问题中要根据具体情况具体处理，尤其是问题涉及人们的生命安全时，宁可把问题考虑的更复杂些 .
3. 可以进一步考虑建立微分方程模型 .。