数学建模 试卷及参考答案
一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）
1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）
答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)
答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)
答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；
（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一
路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:
记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s.
设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在
[a,b]是连续函数。

作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的，
则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0,
由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。

2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分)
解:模型构成
记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。

将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。

S=()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分）
记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ，k v ）定义为决策。

允许决策集合记作D ，由小船的容量可知
D=(){2
,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分）
状态k s 随k d 的变化规律是： 1+k s = k s +()k k
d *-1 （3分） 模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）
三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
1、⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=14/13/1411311A 试用和法求出A 的最大特征值，并做一致性检验（n=3时， RI=0.58）。

答：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411
311A 中各列归一化 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛8/19/17/18/49/47/38/39/47/3 各行求和 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛569.0373.1248.1=w 2分 而⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=328.1897.4328.4Aw ，（1分） 所以最大特征根为
123.3)569
.0328.1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==∑=i i i w Aw λ 2分 其一致性指标为： CI=
061.023123.3133=-=--λ 2分 CR=
1.0106.058
.0061.0>==RI CI 所以A 不通过一致性检验。

2分
2、 一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收200元。

若租给某丙开发旅游业可收300元。

当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用shapley 值方法分配各人的所得。

(9分)
答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略)
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。

（9分） 解:模型假设:
1. 产品每天需求量为常数r
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2
3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当t=T 1时产品已用完
4. 生产周期为T ，产量为Q (2分) 模型建立
一周期总费用如下: 2
)(2213121T T r C Q T C C C -++= (2分) 一周期平均费用为 rT
Q rT C rT Q C T C Q T f 2)(2),(2
3221-++= (2分) 模型求解: 用微分法解得周期 32321)(2C rC C C C T +=
(1分) 产量 )
(232231C C C C rC Q += (1分) 4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。

设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。

解：状态()()()死亡患病健康32,1===，i i i
依歇易得转移概率阵为 ⎝⎛=065.08.0P 025.018.0 ⎪⎪⎪⎭
⎫11.002.0 2分
记()()()
)(),(,321n a n a n a n =α， 则 ()P n n ⋅=+)(1αα ),2,1(⋯⋯=n ………… （1分）
易是：()。

，
i 马氏链是吸收链是吸收状态死亡∴=3 （2分） ⎝⎛=O Q P ⎪⎪⎭⎫I R ⎝⎛=65.08.0Q ⎪⎪⎭
⎫25.018.0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1.002.0R () ⎝⎛-=-=-65.02.01Q I M ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫--65.075.0043.0125.018.01
⎪⎪⎭⎫2.018.0 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==85.093.0043.01Me y （3分） ∴ 由健康、患病出发变成死亡的平均转移次数分别为
4385043930和 。

（1分） 5．设渔场鱼量满足下列方程：（9分）
h N
x rx t x --=))(1()(2 (1)讨论鱼场鱼量方程的平衡点稳定状况
(2)如何获得最大持续产量
解: 令h N
x rx x F --=))(1()(2，)31()(22N x r x F -=' h N x rx x f --=))(1()(2的最大值点为)32,3
(rN N （2分） 当3/2rN h >时,无平衡点 （1分）
当3/2rN h <时,有两个平衡点)3/(1N x <和)3/(2N x >,
经过判断x 1不稳定,x 2稳定 （2分）
当3/2rN h =时,平衡点3/0N x =,由0)(0='x F 不能判断它稳定性 （2分）
(2)为了获得最大持续产量,应使3/N x >且尽量3/N x =接近,但操作困难 （2分）
四、 建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1考虑药物在体内的分布与排除之二室模型
即：把整个机体分为中心室与周边室两室，两室之间的血药相互转移，转移速率与该室的血药浓度成正比，且只有中心室与体外有药物交换，药物向体外排除的速率与该室的血药浓度成正比，试建立两室血药浓度与时间的关系。

（不必求解）
解：假设)(t c i 、)(t x i 和i V 分别表示第i 室)2.1(=i 的血药浓度，药量和容积，2112k k 和是
两室之间药物转移速率系数，13k 是从中心室（第1室）向体外排除的速率系
数 ……………3分
则⎩⎨⎧⋅-=+⋅+⋅--=2211122
022********)()()(x k x k t x t f x k x k x k t x ……（1） ……………6分
（其中)(0t f 是给药速率） 及)2()()( t c V t x i i i ⋅=
于是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-⋅=+⋅+⋅+-=2211122121022112113121)()3()()()(c k c k v v t c v t f c k v v c k k t c …………4分
2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加工10小时后生产A 产品2公斤，A 产品可获利30元/公斤 ，或加工8小时可生产B 产品3公斤，B 产品可获利18元/公斤，或加工6小时可生产C 产品4公斤，C 产品可获利12元/公斤，现每天可供加工的原料为60桶，加工工时至多为460小时，且A 产品至多只能生产58公斤。

为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。

答：设每天安排x 1桶原料生产A 产品，x 2桶原料生产B 产品，x 3桶原料生产C 产品，则有：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤≤++≤++++=0,,582460681060432..485460max 3211321
3213
21x x x x x x x x x x t s x x x z
参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分。