数学建模（数学模型）期末考试卷及答案详解第一部分 基本理论和应用1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内.10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.答案第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)Xb ……………2分(0,1)N （近似） ……………3分 {69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= …………5分 2、计算题（满分10分）设某种电子元件的使用寿命服从正态分布) ,(2σμN ，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值(h)1500=x ，样本标准差(h)14=S . 求总体均值μ的置信概率为99％的置信区间. 解： T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<+-= ………………4分 所求为（1485.61，1514.39） …………2分3、计算题（满分10分）从正态总体)6 ,4.3(~2N X 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 解：(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ……………4分解210.95Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ……………3分4、计算题（满分10分） 设总体X 的概率密度为：⎩⎨⎧<<+=其他，,0,10,)1();(x x x f θθθ )1(->θn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解： 1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ……………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X -- ……………2分 1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n x θθ==+∑（）+ ……………2分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………3分5．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X 是来自X的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； ……………5分 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。

（2）因为1ˆ2E EX θθ==，所以1ˆθ为θ的无偏估计量。

……………5分 又因为()n X 的概率密度函数为：1()1,0()0,n n x n x f x θθθ-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其它 所以1()011n n x n EX xn dx n θθθθ-⎛⎫==⎪+⎝⎭⎰因此2ˆθ为θ的有偏估计量，而3()1ˆn n X nθ+=为θ的无偏估计量。

（3） 221/12ˆ443D DX n nθθθ==⨯=， ……………5分23(2)212202211ˆ11111ˆ(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n nθθθθθθθθ-+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=≥+⎰ 于是3()1ˆn n X nθ+=比1ˆ2X θ=更有效。

6. （15分）设),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2nS 为样本二阶中心矩，2S 为样本方差，问下列统计量：（1）22σnnS ，（2）1/--n S X n μ，（3）212)(σμ∑=-ni iX各服从什么分布？解：（1）由于)1(~)1(222--n S n χσ，又有21221)(1S nn X X n S n i i n-=-=∑=22)1(S n nS n-=，因此)1(~222-n nS nχσ； ……………5分（2）由于)1(~/--n t nS X μ，又有1-=n S nS n ，因此)1(~1/---n t n S X n μ； ……………5分（3）由),,2,1)(,(~2n i N X i =σμ得：),,2,1)(1,0(~n i N X i =-σμ，由2χ分布的定义得：)(~)(2212n Xni iχσμ∑=- ……………5分7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.解：第1个能正确回答的概率是5/8, ………5分第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=,前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, …5分 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布X 0 1 2 3 P5/815/565/561/568. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解：设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥.1) 用二项分布公式计算 …5分31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kk k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.2) 用泊松近似律计算 …5分331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑∑.9. （10分）某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200~(0,1)X Z N σ-=,则~(0,1)Z N . …4分195200205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--⎛⎫<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ⎪⎝⎭.{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥⇔Φ-≥15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-⇔≥Φ=⇔≤=. …6分 10. （15分）设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.解：X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数 …3分(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-和(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, …4分 (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,()(0,)()()()()zs Z Zp z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =, …4分 (){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,()(0,)()()(())()z z z Z Zp z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, …4分 ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞=-=⋅-⎰⎰()()(0,)(0,)0()()zz x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==⎰⎰.因此,当αβ≠时, (0,)()()()z z Z p z e e I z αβαββα--+∞=--, 当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.。