EIy(x)(4) uy(x)
即
y (4)＋ u y＝0
Байду номын сангаас
EI
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
➢ 2．边界条件
•
在单个荷载作用下，由于假定钢轨无
限长，总可把荷载作用点看作是对称点，
边界条件为
• ① 在钢轨两端无穷远处位移有界
• ② 在荷载作用点钢轨无转角：dy/dx=0
• ③ 轨下基础反力的总和与钢轨荷载相等
• 枕上压力变化曲线与钢轨位移一样。
• 在荷载作用点，各函数取最大值，分别为：
ymax

P0 k 2u
M max

P0 4k
Rm ax

aP0 k 2
➢ 4．轨道刚度Kt
•
轨道刚度Kt定义为使钢轨产生单位下
沉所需的竖直荷载。在荷载作用点，令钢
轨的位移y＝1cm，则所需荷载即为Kt， 由式（3-19）可得：
轨道力学分析
本章要求： ������ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨 道结构的受力特点； 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 了解列车脱轨条件； 了解轨道动力学的发展动态。 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论）
• ������ 难点：轨道强度理论。
上，增加了120km/h<V≤160km/h和
160km/h<V≤200km/h两种情况速度修正系
数。
速度系数

1
2
速度系数
速度范围
牵引种类
电力
内燃
v 120
0.6V/100 0.4V/100
120 v 160
0.3△V1/100
160 v 200 0.3△V2/100
➢ 2.偏载系数
则方程的通解为：
y＝C1ekxcoskx＋C2ekxsinkx ＋C3e-kxcoskx＋C4e-kxsinkx
式中C1～C4为积分常数，由边界条件确定。
由边界条件①，当x→时位移有界，有
C1=C2＝0 由边界条件②，当x＝0时，转角为零，有
C3＝C4= C 由边界条件③，轨下基础反力的总和与钢轨
• (2)120km/h<V≤160km/h Pd P0 (1 )(1 1 )
• (3)160km/h<V≤200km/h Pd P0 (1 )(1 1 )(1 2 )
• 2.动位移、动弯矩和枕上动压力
• 以前得到的结果只是静轮载群作用下轨道 结构的位移、弯矩和轨枕压力值，要求得
• 三、轨道动力响应的准静态计算
• ������ 所谓结构动力分析的准静态计算，名 义上是动力计算，而实质上则是静力计算。
• 动力计算结果 ＝静态计算结果×动力增值系数(>1)
动力增值系数: (1)速度系数α (2)偏载系数β (3)横向力系数 f (计算钢轨动弯应力时用，
后面介绍)
现有的设计方法主要考虑速度和未被 平稳超高的影响，引进速度系数和偏载系 数分别计算出动轮载增量，然后与静轮载 迭加在一起得到动轮载。
➢ 2．微分方程的解
• 设方程的解为：
y＝Ae rk
；• A、r为待定常数。将此式代入微分方程中
整理得：
；
r4 u
EI
；• 由复变函数理论，此代数方程有四个根，
分别为：
r1
2 4
u
(1 i)
2 EI
r2
2 4
u (1 i)
2 EI
r3
2 4
u (1 i)
2 EI
r4
• ������ （3）对轨道结构参数进行最佳匹配设计， 为轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构 类型及材料提供理论依据。
• ������ 因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改 进轨道结构的理论基础。(导弹发射、提速、重载 等)
• 轨道结构的设计、养护和维修都需要了解 轨道结构各部件的应力和变形。
这种利用静力计算结果乘以大于1的 系数后得到动力计算结果的计算方法称为 准静态计算。其实质是静力计算，而非真 正的动力计算。
一、单个静轮载作用下的解
• 1．微分方程
•
在连续支承梁模型中，钢轨是连续弹性支
承上的梁，在静载作用下设位移曲线（以向下
为正）为y (x)，轨下基础对钢轨的分布反力
（以向下为正）为q(x)。 根据文克尔假定，基
础反力与位移成正比，有
q(x) uy(x)
•
即假设x坐标处的轨下基础反力与x处的钢
轨位移成正比。这相当于基础是由连续排列，
但相互独立的线性弹簧所组成，每个弹簧的变
形仅决定于作用在其上的力，而与相邻弹簧的
变形无关。
由材料力学可得：
EIy(x)(4) q(x)
将q(x)的表达式代入得连续支承梁模型 的微分方程：
• 考虑到轨枕挠曲变形会降低轨下 基础刚度，引进轨枕挠曲系数α 修正。
Db
cb
l 2
混凝土枕可看是作刚性的，取＝1；
木枕的弹性很好，取＝0.81～0.92。
• 扣件和轨下基础等效刚度相当于两根串联 弹簧。不难得到钢轨支座刚度为：
D DP Db DP Db
一般轨道的扣件刚度远大于枕下基础等效刚 度，这时可近似的得到：

1 4k
n i 1
P e kxi 0i
(cos
k
xi
sin kxi )
R0

ak 2
n i 1
P0iekxi (cos kxi
sin kxi )
式中：
P0i是各车轮的静轮载。 xi是各轮位与计算截面之间的距离。 由于相邻轮子的影响有正有负，因此，对于
有多个车轮的机车，应分别把不同的轮位作为计
D Db
➢ 3. 钢轨基础弹性模量u
•
采用连续基础梁模型时，钢轨基础弹性模量
表示钢轨基础的弹性特征，定义为使单位长度的
钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力，
量纲为力/长度2。可由钢轨支座刚度除以轨枕间
距a得到：
u D/a
•
C、D两个参数随轨道类型，路基、道床状
况及环境因素而变化，离散性很大，在进行设计
• 虽然轨道结构是在动荷载作用下工作，应 力和变形都是动态的，但目前的计算是在 静力分析的基础上再考虑动力因素的影响。
• 现有的轨道结构设计实质上还是静力强度 设计。
• 本章主要介绍静力分析理论。
第一节 轨道结构竖向静力分析模型
一、计算模型 我国规范轨道竖向静力分析两种：
点支承梁模型、连续支承梁模型
轨道结构力学分析：
• ������ （1）（整体结构）应用力学的基本理论， 结合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆 不同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内 力和变形分布；
• ������ （2）（部件）对主要部件进行强度核算， 以便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态，提 高轨道承载能力，最大限度地发挥既有轨道的潜 能，提高效益。
P
• 两种理论变形等计算结果相差不大，但二 者的弯矩相差9～10%，均可满足工程需要。 但后者计算方法简单，故使用较多，第一 种方法较繁，使用较少。
对于第一种方法要有以下基础：
• ������ (1)连续梁的三弯矩方程
• ������ (2)差分方程（现解方程组方法很多）
• ������ (3)有限元方法
动位移、动弯矩和轨枕动压力值Yd 、Md、 Rd ,还要考虑动载增量影响因素。根据动 轮载与静轮载的关系式，动位移、动弯矩
➢2.钢轨支座刚度D
• 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度。
• (1)轨下基础等效刚度：
• 轨枕相当于由一系列刚度为c的 并联弹簧支承，因此，枕下基础可 等效为一根弹簧，其值为：
Db

cb
l 2
算截面计算，比较找出最大位移、动弯矩和枕上 动压力值。
由于相邻轮子的影响有正有负，因此， 对于有多个车轮的机车，
(1)应分别把不同的轮位作为计算截面进 行计算，得到相应的钢轨位移、弯矩和枕上 压力。
(2)从所有计算结果中找出最大的 y,M,R，该最大值对应的轮位即为最不利轮 位，相应处的钢轨截面即为最不利截面。
特重型、重型
钢轨 轨枕、道床 及基床
300
700
500
1200
次重型及以下
钢轨 轨枕、道床及 基床
220
420
注：对于检算钢轨或检算轨枕、道床及路基分别采用不同的最不利的D值。
第二节 钢轨位移、弯矩和枕上压力计算
机车车辆通过时，车轮依次通过，轨 道受轮群的作用。为了求解轮群作用下钢 轨的位移和弯矩，可先求出单个静轮载作 用下的解，再通过叠加原理求轮群作用下 的静力解，然后用速度系数和偏载系数修 正静力分析结果得到动力解。
荷载相等，有

2 0 uydx P0
则
C P0 ＝ P0k 8EIk3 2u
故钢轨的位移
y P0k ekx (coskx sin kx) 2u
钢轨弯矩
M EIy“ P0 ekx (coskx sin kx) 4k
枕上压力(是轨枕间距与钢轨支承反力q的乘积)
R aq auy aP0 k e kx (coskx sin kx) 2
到计算截面的距离和静轮载代入式（3-19）至 （3-21），分别计算各轮载对该计算截面的位
移、弯矩和轨枕压力值，再将这些值叠加起来，
即为轮群共同作用下该截面的位移、弯矩和轨 枕压力值。具体计算公式如下：