k的引进既是为了方程的解表达式简便，又 有明显的物理意义。它叫作钢轨基础与钢轨的 刚比系数。轨道的所有力学参数及相互间的关 系均反映在k中。任何轨道参数的改变都会影响 k，而k的改变又将影响整个轨道的内力分布和 部件的受力分配，因此k又可称为轨道系统特性 参数。 则方程的通解为： y＝C1ekxcoskx＋C2ekxsinkx ＋C3e-kxcoskx＋C4e-kxsinkx 式中C1～C4为积分常数，由边界条件确定。
计算假设： (1)标准结构
(2)对称结构
假设结构和受力均对称，即假设轨道 刚度均匀且对称于轨道中心，机车车辆不 偏载，从而两股钢轨上的静轮载相等，因 此模型都只取轨道的一半 (3)不考虑轨道结构本身的自重
二、计算参数 1.道床系数C
道床系数是表征道床及路基的弹性特 征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 量纲为力/长度3。 2.钢轨支座刚度D 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度。
整理得：
； ；
uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr EI
4
由复变函数理论，此代数方程有四个根，
分别为：
r1
24 u (1 i) 2 EI
r2
24 u (1 i) 2 EI
r3
24 u (1 i) 2 EI
r4
24 u (1 i) 2 EI
令
24 u u 4 k 2 EI 4EI
u D/a

C 、 D 两个参数随轨道类型，路基、道床状 况及环境因素而变化，离散性很大，在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
第二节 钢轨位移、弯矩和枕上压力计算
机车车辆通过时，车轮依次通过，轨 道受轮群的作用。为了求解轮群作用下钢 轨的位移和弯矩，可先求出单个静轮载作 用下的解，再通过叠加原理求轮群作用下 的静力解，然后用速度系数和偏载系数修 正静力分析结果得到动力解。 这种利用静力计算结果乘以大于1的系 数后得到动力计算结果的计算方法称为准 静态计算。其实质是静力计算，而非真正 的动力计算。
一、计算模型
我国规范轨道竖向静力分析两种： 弹性点支承梁模型、弹性连续支承梁模型 1.点支承梁模型 点支承梁模型中钢轨是按轨枕間距支承于轨 枕上，故称弹性点支承连续梁计算模型
钢轨
D
P 钢轨支点 弹性系数
a
a
2.连续支承梁模型
若近似地把轨枕的支承看作均匀分布在轨枕 间距内连续支承的钢轨梁，则为连续支承梁模型， 其支承刚度为钢轨基础弹性模量。 模型中钢轨视为支承在弹性基础上的等载面 无限长欧拉梁 。
轨道结构的设计、养护和维修都需要了解
轨道结构各部件的应力和变形。 虽然轨道结构是在动荷载作用下工作，应 力和变形都是动态的，但目前的计算是在 静力分析的基础上再考虑动力因素的影响。 现有的轨道结构设计实质上还是静力强度 设计。 本章主要介绍静力分析理论。
第一节 轨道结构竖向静力分析模型
扣件和轨下基础等效刚度相当于两根串联
弹簧。不难得到钢轨支座刚度为：
DP Db D DP Db
一般轨道的扣件刚度远大于枕下基础等效刚 度，这时可近似的得到：
D Db
3. 钢轨基础弹性模量u
采用连续基础梁模型时，钢轨基础弹性模量 表示钢轨基础的弹性特征，定义为使单位长度的 钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力， 量纲为力/长度2。可由钢轨支座刚度除以轨枕间 距a得到：
P
u
两种理论变形等计算结果相差不大，但二者
的计算结果相差5～10%，均可满足工程需要。 弹性点支承模型一般须采用以下方法求解： ������ (1)连续梁的三弯矩方程 ������ (2)差分方程（现解方程组方法很多） ������ (3)有限元方法 由于点支承模型求解方法较繁，因此使用较 少，而连续弹性支承模型可求得解析解，计 算方法简单直观，方便实用，故使用较多 （具体求解见后文）。
由材料力学可得：
EIy( x) ( 4) q( x)
将q(x)的表达式代入得连续支承梁模型的 微分方程：
EIy( x) ( 4) uy( x)
即
u y ＋ y＝0 EI
( 4)
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
2．微分方程的解 设方程的解为： y＝Aerk
；
A、r为待定常数。将此式代入微分方程中
2 uydx P 0
0
则
C
P0 P0 k ＝ 2u 8 EIk 3
故钢轨的位移
P0 k kx y e (coskx sin kx) 2u
钢轨弯矩
M EIy
P0 kx e (cos kx sin kx) 4k
枕上压力(是轨枕间距与钢轨支承反力q的乘积)
aP0 k kx R aq auy e (coskx sin kx) 2
(1)轨下基础等效刚度： 轨枕相当于由一系列刚度为c的
并联弹簧支承，因此，枕下基础可 等效为一根弹簧，其值为： 考虑到轨枕挠曲变形会降低轨下 l Db cb 基础刚度，引进轨枕挠曲系数α 2 修正。 混凝土枕可看是作刚性的，取＝1； 木枕的弹性很好，取＝0.81～0.92。
l Db cb 2
由于相邻轮子的影响有正有负，因此， 对于有多个车轮的机车， (1)应分别把不同的轮位作为计算截面 进行计算，得到相应的钢轨位移、弯矩和枕 上压力。 (2)从所有计算结果中找出最大的 y,M,R，该最大值对应的轮位即为最不利轮 位，相应处的钢轨截面即为最不利截面。
三、轨道动力响应的准静态计算
������


一、单个静轮载作用下的解 1．微分方程 在连续支承梁模型中，钢轨是连续弹性支 承上的梁，在静载作用下设位移曲线（以向下 为正）为y (x)，轨下基础对钢轨的分布反力 （以向下为正）为q(x)。 根据文克尔假定，基 础反力与位移成正比，有 q( x) uy( x) 即假设x坐标处的轨下基础反力与x处的钢 轨位移成正比。这相当于基础是由连续排列， 但相互独立的线性弹簧所组成，每个弹簧的变 形仅决定于作用在其上的力，而与相邻弹簧的 变形无关。
二、轮群作用下钢轨位移和弯矩和枕上压力 1. 静位移、静弯矩和枕上静压力 由于微分方程式（3-12）是线性的，当有多 个轮载同时作用在钢轨上时，可应用叠加原理。 如要计算某一截面处的钢轨位移、弯矩和轨枕 压力值y0 、M0 、R0，可将坐标原点置于该截面 处，称该截面为计算截面。然后将各轮位到计 算截面的距离和静轮载代入式（3-19）至（321），分别计算各轮载对该计算截面的位移、 弯矩和轨枕压力值，再将这些值叠加起来，即 为轮群共同作用下该截面的位移、弯矩和轨枕 压力值。具体计算公式如下：
2.偏载系数
列车通过曲线时，由于存在未被平衡 的超高(欠超高或余超高)，使内外轨轮载 产生偏载，与静轮载相比，产生了外轨 (或内轨)的偏轮载增加量P。其增量与静 轮载的比值称为偏载系数，用β表示。
P ＝ P0
一般以下式计算：
β=0.002h
3.钢轨竖向荷载 钢轨竖向动荷载Pd为：
速度系数
速度系数 速度范围 牵引种类 电力 内燃

v 120
0.006V(M) 0.004V(M) 0.0045V(y,R) 0.003V(y,R) 0.3△V1/100 0.45△V2/100
1
2
120 v 160
160 v 200
对于200~300km/h的动力附加系数，可采用 ＝ 0.75~1.0。
y max P0 k 2u
M max
P0 4k
aP0 k 2
Rmax
4．轨道刚度Kt
轨道刚度Kt定义为使钢轨产生单位下 沉所需的竖直荷载。在荷载作用点，令钢 轨的位移y＝1cm，则所需荷载即为Kt，由 式（3-19）可得：
2u K t ＝24 4 EIu 3 k


k n kxi y0 P e (coskxi sin kxi ) 0i 2u i 1 1 n kx M0 P e (coskxi sin kxi ) 0i 4k i 1
i
ak n kxi R0 P0i e (coskxi sin kxi ) 2 i 1 式中： P0i是各车轮的静轮载。 xi是各轮位与计算截面之间的距离。 由于相邻轮子的影响有正有负，因此，对于 有多个车轮的机车，应分别把不同的轮位作为计 算截面计算，比较找出最大位移、动弯矩和枕上 动压力值。
轨道结构力学分析： ������ （1）（整体结构）应用力学的基本理论，结 合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不 同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力 和变形分布； ������ （2）（部件）对主要部件进行强度核算，以 便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态，提高 轨道承载能力，最大限度地发挥既有轨道的潜能， 提高效益。 ������ （3）对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为 轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类 型及材料提供理论依据。 ������ 因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改 进轨道结构的理论基础。(导弹发射、提速、重载 等)
所谓结构动力分析的准静态计算，名 义上是动力计算，而实质上则是静力计算。 动力计算结果 ＝静态计算结果×动力增值系数(>1) 动力增值系数: (1)速度系数 (2)偏载系数β (3)横向力系数 f (计算钢轨动弯应力时用， 后面介绍)
现有的设计方法主要考虑速度和未被 平稳超高的影响，引进速度系数和偏载系 数分别计算出动轮载增量，然后与静轮载 迭加在一起得到动轮载。 因此，钢轨竖向荷载是由静轮载、动 轮载增量和偏轮载增量相加而成的动轮载 Pd。