分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数 符号函数sgnt,以 例1 分别求出单位阶跃函数 符号函数 以 及f(t)=1的拉氏变换 的拉氏变换 解: 由拉氏变换的定义有
1 − st ∞ 1 (Res > 0) e = L[u(t )] = ∫ 1⋅ e d t = 0 0 s −s ∞ 1 − st (Res > 0) L[sgn(t )] = ∫ 1⋅ e d t = 0 s ∞ 1 − st L[1] = ∫ 1⋅ e d t = (Res > 0) 0 s 求出指数函数f 例2 求出指数函数 (t) = e kt 的拉氏变换
d F ( s) ds dn 一般地， 一般地，有 ( −1) n L t n f (t ) = n F (s ), ds
[
]
例7 求函数 f(t) = t 的拉氏变换 1 解: 由于 L(1) = 故 s d 1 1 L[ f ( t )] = L[ t ] = − ( ) = 2 ds s s 例8 求函数 f(t) = te−at 的拉氏变换
0
0+
求单位脉冲函数δ 的 变换. 例4 求单位脉冲函数δ(t)的laplace变换 变换 解: L[δ ( t )] = ∫ δ ( t )e dt = ∫ δ ( t )e − st dt
− st 0
0−
+∞
+∞
= ∫ − δ ( t )e − st dt + L+ [δ ( t )]
0
0+
[Re(s) > −]
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当 时有定义 时有定义， 设函数 当t≥0时有定义，而且积分
+∞
∫
+∞
0
f ( t )e − st dt
的某一域内收敛(s是一个复参量 在s的某一域内收敛 是一个复参量 ，则由此积 的某一域内收敛 是一个复参量) 分决定的函数可写为 F ( s ) = +∞ f ( t )e − st dt ∫0 的拉普拉斯变换(简称拉氏变换 称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换 简称拉氏变换 或象 为 的拉普拉斯变换 简称拉氏变换)或象 函数，记为 函数，记为F(s)=L[f(t)]. 的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆 又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换 简称为拉氏逆 为 的拉普拉斯逆变换 变换)或象原函数， 变换 或象原函数，即f(t)=L−1[F(s)] 或象原函数
L[ f (t )] = F[ f (t ) ⋅ e
−β t
u(t )] = ∫
+∞ −∞
+∞
0
f (t ) ⋅ e
−( β + jw) t
dt
双边拉氏变换: 双边拉氏变换 L[ f (t )] = ∫ 傅氏变换: 傅氏变换 L[ f (t )] = ∫
+∞ −∞
f (t ) ⋅ e−( β + jw)t dt
则有L[αf1 ( t ) + βf 2 ( t )] = αF1 ( s ) + βF2 ( s ).
求常数A的 变换. 例1: 求常数 的Laplace变换 变换 解: L[ f ( t )] = ∫
0 +∞ 0
f ( t )e dt = ∫−来自st+∞0
Ae dt
− st
= A∫ e − st dt = A / s
∞ 0 − st − st ∞ 0 ∞
d t = f (t )e
− ∫ − sf (t )e − st d t
0
n− 2
= sF ( s ) − f (0)
推论： 推论：L[ f ( t )] = s F ( s ) − s
n
n
n −1
f ( 0) − s
f ′(0) − ⋯
− f ( n−1) (0),
而 f ( t ) = m! 故
m
L[m! ] = L[ f m ( t )] = s m L[ f ( t )]
根据线性性质有
m! L[m! ] = m! L[1] = s
m! 故 L[t ] = m +1 s
m
(4)象函数微分性质 4)象函数微分性质 设L[f(t)]=F(s), 则 L[− tf ( t )] =
+∞
(2) 相似性质 为正实数 相似性质(a为正实数 为正实数) 则当a为正实数时 设L[f(t)]=F(s), 则当 为正实数时
1 s L[ f (at )] = F a a
证明： 证明：L[ f (at )] = ∫ f (at )e− st d t
∞ 0
令τ = at，L[ f (at )] = ∫ f (τ )e 0
e − st +∞ ( − s sin kt − k cos kt ) 0 = 2 2 s +k k [Re(s) > 0] = 2 2 s +k s 同理可得 L[cos kt ] = 2 [Re(s) > 0] 2 s +k
0
+∞
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f 满足下列条件 满足下列条件： 拉氏变换存在定理: 设函数 (t)满足下列条件：
k (4) L[sin kt ] = 2 , (Re( s ) > 0) 2 s +k s (5) L[cos kt ] = 2 , (Re( s ) > 0) 2 s +k
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质 设α、β为常数, 且有L[ f (t )] = F ( s), L[ g(t )] = G( s) 为常数,
+∞
c称为 f(t)的增长指数 称为 的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F ( s ) = ∫0 f ( t )e − st dt 的拉氏变换 在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。 在半平面 ＞ 一定存在， 是解析函数。 是解析函数
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时 f(0)与f (t)的Laplace变换无关 附近有界时, 在 附近有界时 与 的 变换无关
+∞ 0 +∞ 0
+∞ 0
f ( t )e − st dt
= ∫ [e − βt δ ( t ) − β e − βt u( t )]e − st dt = ∫ δ ( t )e
−( s + β ) t
dt − β ∫ e − ( s + β ) t dt (Res > Reβ)
0
+∞
=e
−( s+ β )t t =0
1°当t＜0时，f (t)=0； ＜ 时 ； 的任一有限区间上分段连续， 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 在 的任一有限区间上分段连续 的个数是有限个，且都是第一类间断点； 的个数是有限个，且都是第一类间断点； 是指数级函数(增长速度不超过指数函数 3°f (t)是指数级函数 增长速度不超过指数函数 是指数级函数 增长速度不超过指数函数) 即存在常数M 即存在常数 > 0及c > 0使 及 使 | f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
+∞
求余弦函数f(t)=coskt(k为实数 的laplace变换 为实数)的 例4 求余弦函数 为实数 变换 解: L[ f ( t )] = ∫ cos kte − st dt
0 +∞
1 jkt (e + e − jkt )e − st dt =∫ 0 2 1 1 1 s ]= 2 = [ + 2 s − jk s + jk s + k2
∞
s − τ a
τ d a
1 = ∫ f (τ )e a 0
∞
s − τ a
1 s dτ = F a a
(3)微分性质 微分性质 设L[f(t)]=F(s), 则有 L[ f ′( t )] = sF ( s ) − f (0) 证明： 证明： ∫ f ′(t )e
显然L 显然 +[δ(t)]=0
而 ∫ − δ ( t )e dt = ∫ δ ( t )e − st dt = e − st
− st 0 −∞ 0+ +∞ t =0
=1.
例5 求函数f(t)=e−βtδ(t)−βe−βtu(t)的laplace变换 求函数 − 的 变换. 变换 解: L[ f ( t )] = ∫
L[ f ( t )] = ∫
+∞
0
f ( t )e − st dt
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 包含了脉冲函数， 在 包含了脉冲函数 积分区间包括t=0这一点，还是不包括 这一点 积分区间包括 这一点，还是不包括t=0这一点 这一点 假如包括，我们把积分下限记为 假如包括，我们把积分下限记为0 +；
∞ − st
解: L[ f (t )] = ∫ e ⋅ e
∞ kt 0
− st
dt = ∫ e
0
∞
−( s − k ) t
(Res > Rek)
1 dt = s−k
求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数 的laplace变换 为实数)的 例3 求正弦函数 为实数 变换 解: 根据定义有
L(sin kt ) = ∫ sin kte − st dt
0
Ae dt − ∫
− st
0
1 1 ) = A( − s s +α
例3 求正弦函数 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数 的laplace变换 为实数)的 为实数 变换 解: L[ f ( t )] = ∫ sin kte − st dt