f (t ) Me ( M和k为实常数)
kt
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第二章
拉普拉斯变换
如果复变函数 F ( s ) 是时间函数 f (t ) 的拉氏变换，则f (t ) 称为 F ( s ) 的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为 ：
控 制 工 程 基 础
f (t ) L [ F ( s )]
1
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第二章
拉普拉斯变换
四、复数域位移定理(Complex-Shifting Theorem)
若 L[ f (t )] F ( s )，对于任意常数a(实数或复数)，有
Le
控 制 工 程 基 础

at
f t F s a

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第二章
控 制 工 程 基 础
L f t
T 0

0
f t e st dt
st 2T st
f t e dt f t e dt
T
n 1T
nT
f t e st dt

n 0

n 1T
nT
f t e st dt
(0) f (t )dt
0
t
t 0
推论 若
L[ f (t )] F (s)
则
t t t 1 1 ( 1) 1 ( 2) n L f (t )(dt ) n F ( s ) n f (0) n 1 f (0) 0 0 0 s s s 1 (n) f (0) s
推论 若
L[ f (t )] F (s) ，则
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) L s F ( s ) s f (0) s f (0) f (0) n dt ( n 1) (0) 0 时，有 特别地，当 f (0) f (0) f
控 制 工 程 基 础
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第二章
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t )， t 0 ,则 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为

控 制 工 程 基 础
L[ f (t )] F ( s ) f (t ) e dt
st 0
象函数(Image Function)
控 制 工 程 基 础
数学表达式为
e at
0 t
r ( t) = (指数增长函数) r (t)= e-at (指数衰减函数) 其中a >0 。
其拉氏变换为
at
eat
图2-1-5 指数函数
1 L[e ] e e dt 0 sa 1 at at st L[e ] e e dt 0 sa
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第二章
拉普拉斯变换
( 1) ( 2) (n) f (0) f (0) f (0) 0 当初始条件为零时，
t 1 L f (t )dt F ( s ) 0 s
控 制 工 程 基 础
t t t 1 n L f (t )( dt ) n F ( s ) 0 0 0 s
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第二章
拉普拉斯变换
注:欧拉公式
控 制 工 程 基 础
e cos t j sin t
jt
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第二章
拉普拉斯变换
第二节 拉普拉斯变换的性质
一、线性性质(Linearity)
线性性质指同时满足叠加性和齐次性 。
控 制 工 程 基 础
叠加性 (Additivity Property)：指当几个激励信号 同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独 作用所产生的响应之和。如 r1 c1，r2 c2 ，则
st
1 jt jt st (e e )e d t 2j 0 2 2 s
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第二章
拉普拉斯变换
（七）余弦函数 余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为
r (t ) cos t
控 制 工 程 基 础
(t≥0)
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第二章
拉普拉斯变换
八、初值定理(Initial Value Theorem)
若 L[ f (t )] F (s) ，且 lim sF ( s ) 存在，则
控 制 工 程 基 础
L 1 e 2 t cos3t t 3 (t )


L1 L e 2 t Lcos3t L t 3 L t


1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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第二章
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第二章
拉普拉斯变换
主要内容 第一节 拉普拉斯变换简介
控 制 工 程 基 础
第二节 拉普拉斯变换的性质 第三节 拉普拉斯反变换 第四节 用拉普拉斯变换解线性微分方程
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第二章
拉普拉斯变换
第一节 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏 变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。
L[ f
(n)
(t )] s F ( s )
n
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第二章
拉普拉斯变换
七、积分性质(Integration Property)
若L[ f (t )] F ( s)则 L
其中 f
控 制 工 程 基 础
(-1)
0
t
( 1) F ( s ) f (0) f (t )dt s s
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s )
，对任意实数 a ,则
as
控 制 工 程 基 础
L[ f (t a )] e
F (s)
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第二章
拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f (t ) 是以T 为周期的周期函数,即 f (t T ) f (t ) ， 则有
原函数(Original Function )
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第二章
拉普拉斯变换
一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： (1)在t<0时， f (t ) 0 (2)在t≥0的任一有限区间内， f (t ) 是分段连续的；
控 制 工 程 基 础
(3)当t→﹢∞时， f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数， 即
r3 r1 r2 c3 c1 c2 。
齐次性 (Homogeneity Property)：指当输入信号乘 以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：r c ，
则 kr kc 。
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第二章
拉普拉斯变换 a和b为常数
若有
L[ f 1 (t )] F1 ( s )
(t )
1
控 制 工 程 基 础
0
图2-1-1 单位脉冲函数
t
t 0 (t ) 0 t 0
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第二章
拉普拉斯变换
函数具有如下重要性质

控 制 工 程 基 础
(t ) dt


0

0
(t ) dt 1



(t ) f (t ) dt f (0)
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0

n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n ( n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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at
st

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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
0
t
控 制 工 程 基 础
图2-1-2 单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 t0
u(t ) 的拉氏变换为 L[u (t )]


0
u (t ) e dt e dt
st st 0