散射公式的推导
库伦力为中心力（此为离心力），角动量守恒 r r r d ˆr v e ˆ , v r r mv L, v vr e dt
即
初始状态: L bmv0
d mr const L dt
2
(b-1) (b-2)
2
r Z1Z 2e L dv ˆ 2 e 联立（a）,（b-1） 2 r 4 0 r r d
m v m v
1 2 1 '2 1 2 2 '2 2 m v m v meve m (v v ) meve 2 2 2 me ' ve , 因为 me~mα/7300, v v v m m
' v(v v ) v 2v = e ve2 m 2 m p v e 所以 ~ 104 p v m
第一章：原子的位形：卢瑟福模型
第一节 背景知识
第二节 卢瑟福模型的提出 第三节 卢斯福散射公式 第四节 卢斯福公式的实验验证 第五节 行星模型的意义及困难
原子物理学（2017）
第一节 背景知识——原子
1803年道尔顿提出了他的原子学说，他认 为: 1.一定质量的某种元素，由极大数目的该元 素的原子所构成； 2.每种元素的原子，都具有相同的质量，不 同元素的原子，质量也不相同； 3.两种可以化合的元素，它们的原子可能按 几种不同的比率化合成几种化合物的分子。
原子物理学（2017）
第一节 背景知识——原子
当原子学说逐渐被人们接受以后，人们 又面临着新的问题：
原子有多大？ 原子的内部有什么？
原子是最小的粒子吗？....
在学习这门课的时候；一部分问题的谜 底会逐渐揭开，现在我们来粗略地估计一 下原子的大小。
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
原子物理学（2017）
散射公式的推导
如上图所示 Z2e的库仑场中运动,t时刻 r r ,α粒子在原子核 位矢为 r 速度为 v 牛顿第二定律可得:
r Z1Z 2e dv ˆ m e 2 r 4 0 r dt
2
原子物理学（2017）
(a)
第一章：原子的位形：卢斯福模型
Z1Z 2e2 2v0 sin g2cos 2 4 0 mv0b 2
(g)

即,
Z1Z 2e2 a 1 2 b ctg , a , E mv 2 2 4 0 E 2
证毕
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原子物理学（2017）
散射角度分布
b values: ±0.1, ±2, ±4,…, ±100
原子物理学（2017）
卢瑟福α离子散射实验
α离子：带两个正电荷的氦核,
4 2
He2
金（aurum）
实验装置如上图所示。放射源 R 中发出一细束α 粒子， 直射到金属箔上以后，由于各α 粒子所受金属箔中原子 的作用不同，所以沿着不同的方向散射。荧光屏S及放 大镜M可以沿着以F为中心的圆弧移动。当S和M对准某一 方向上,通过F而在这个方向散射的α 粒子就射到S上而 产生闪光，用放大镜M观察闪光，就能记录下单位时间 内在这个方向散射的α 粒子数。从而可以研究α 粒子通 过金属箔后按不同的散射角θ 的分布情况。
Rutherford公式推导:
首先,我们来看看只有一个靶原子核时的情形。由库 仑散射公式,我们知道,随着瞄准距离b的增加,散射角 θ 减小,可见瞄准距离在b→b+db之间的粒子,必然被 散射到θ →θ -dθ 之间的空心圆锥体之中.
原子物理学（2017）
第三节 卢瑟福散射公式
上图所示环的面积 d 为 2
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
作用时间估计：t
角动量定理得 Fmax t p
2R v
θ p
Δp
2Ze2 2 R 2 ( ) 代入Fmax值, 解得: p 4 R v 1
所以 tgθ值很小,所以近似有
Z tg 3 10 (rad ) E
(2)
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
Z 综合(1),(2)两式知 10 E
4
如果以能量为5MeV的α粒子轰击金箔(Z=79), 最大偏转角为
max 15.8 10 (rad ) 0.09
4
0
即在上述两种情形下,α 粒子散射角都很小,故 Tomson模型不成立
5
(1)
上式中E单位为MeV，R取值 0.1nm。
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
上面的计算我们没有考虑核外电子的影响。 α 离子带正电荷，电子为负电荷，两者相互吸 引，我们考虑极限情况：α 粒子与电子发生正 碰时,可以近似看作弹性碰撞 ,动量与动能均守 ' 恒 m v m v me ve e e
v0
(d)
且根据机械能守恒：| v f || v0 |
r r ˆu v f v0 2v0 sin e 几何关系： 2
(e)
ˆ cos( ) ˆ ˆu i e j sin( ) 2 2 2 2
ˆ sin i

ˆ j cos 2 2
第一章：原子的位形：卢斯福模型
第一章：原子的位形：卢斯福模型原子物理学（2017）卢瑟福模型的提出_定量描述
α 粒子散射实验观察到： 被散射的粒子大部分分布在小角度区域， 但是大约有1/8000的粒子散射角 θ>90度，甚 至达到180度,发生背反射。α粒子发生这么大 角度的散射，说明它受到的力很大。 定性描述： 卢瑟福：原子 中正电荷集中 在很小的体积 内。
1.假定只发生单次散射。散射现象只有当α 粒子与原子 核距离相近时，才会有明显的作用，所以发生散射的机 会很少(0.01%)； 2.假定粒子与原子核之间只有库仑力相互作用(比较万 有引力）； 3.忽略核外电子的作用，由于核外电子的质量很小， 散射的影响极小（汤姆孙模型中已经进行过估算） 4.假定原子核静止。这是为了简化计算。
阿伏伽 德 罗 ( A m e d o e A v o 一 g a d r o , 17 7 6~ 1 8 5 6 ) 是意 大利物理 学 家， 1881年 , 他 在一篇重要 的论文中提 出 : “气态物质的体积和组成气 态物 质的简单分 子或复合 分 子的 数 目之间存在着 非 常简单的关 系. 把 它们 联系 起来 的第 一个 、 甚 至是 唯一容 许的 假说 是 , 在 相 同的体积中 , 所有 气体的 数 目相 等 · … … ”
原子物理学（2017）
2 d a2 ( ) , a Z1Z 2e d 16sin 4 4 0 E 2
第一节 背景知识——质子、中子
中子：不带电荷，具有质量 mn=1.674927471(21)e(-27)kg
质子的电荷数值与电子相同，但极性相反。 mp=1.674927471(21)e(-27)kg
原子物理学（2017）
第二节 卢瑟福模型的提出_汤姆孙模型的定性描述
• 存在电子 如何分布(结构）？
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
Review
α 粒子散射实验否定了汤姆逊的原子模型， 根据实验结果，据此实验 卢瑟福1911年提出 了原子的核式模型。 原子中心有一个极小的原子核，它集中了全 部的正电荷和几乎所有的质量，所有电子都分 布在它的周围. 如何定量分析？ 。。。。。。
即
r Z1Z 2e2 ˆr dv d e 4 0 L
(c)
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
散射公式的推导
对上式积分（由初态到末态）： 2 vf Z Z e r 1 2 ˆr d dv v0 0 4 0 L e vf r r r 对左式 dv v f v0
第一节 背景知识——原子
A Z
X
1mol X元素的质量为A克； 数目为NA
不同原子的半径
r 3 3 A / 4N A
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
第一节 背景知识——电子
电子是在1897年由剑桥大学卡文迪许实验室的约瑟 夫· 约翰· 汤姆森在研究阴极射线时发现的。
1897，汤姆孙阴极射线实验：
汤姆孙的“西瓜”模型 原子中带正电部分均匀分布在原
子体内,电子镶嵌在其中，人们称 之为"葡萄干面包模型". 同时该模型还进一步假定，电 子分布在分离的同心环上，每个 环上的电子容量都不相同，电子 在各自的平衡位置附近做微振动。 因而可以发出不同频率的光，而 且各层电子绕球心转动时也会发 光。这对于解释当时已有的实验 结果、元素的周期性以及原子的 线光谱，似乎是成功的。
(1)
2
原子物理学（2017）
第三节 卢瑟福散射公式
dθ 对应的空心圆锥体的立体角为
(2)式代入(1)式可得:
2
2 (r sin ) rd d 2 sin d 2 r
d a d /16sin
定义微分散射截面：
(2)
4

2
(3)
微分截面：入射粒子散射到θ方向单位立体角内每个原子的 有效散射截面。
定量描述 。。。
第一章：原子的位形：卢斯福模型
原子物理学（2017）
汤姆孙模型的定量描述
汤姆孙均匀电荷模型，电场力： （高斯定律） 电量：Ze+ 半径：R

(2e)( Ze) r (r 3 4 0 R
1
R) R)
1
4 0
(2e)( Ze) (r 2 r
当r=R（掠射）时,入射α 粒子受力最大，设为 Fmax ，我 们来看看此条件下α 粒子的最大偏转角是多少？