高一数学幂函例题
解: (1)底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幕函数，不同函数值的大小问
1 1 1
题.••• y x 3在 0, 上单调递增，且 1.7 1.5 1，二 1.73 1.53 1 .
3
3
3
3
(2)底数均为负数，可以将其转化为 -.2 7
-.2 7，
7
-.3 7，
3 .57
3 3
■ y x 7
在 0 ,
上单调递增，且--5
. 3
2
3
3
3
3
3
3
5 7
.3 7
2 7，即■. 5 7
3 7
2 ?，
3
57 3
37 3
2 7 .
(3)先将指数统一，底数化成正数.
例1、 幕函数y x m
( m 、n N ，且m 、n 互质)的图象在第一，二象限，且不经过原
点，则有
(A) m 、n 为奇数且m 1
n (B) m 为偶数，n 为奇数，且m 1
n (C) m 为偶数，n 为奇数，且m 1
n (D) m 奇数，n 为偶数，且m 1
n 例2、 右图为幕函数y x 在第一象限的图像，则
a,b,c,d 的大小关系是
(A)a b c
d (B) b a d
(C)a
(D) a
解：取x
1
1
，由图像可知:
2
c ，应选(C).
例3、 比较下列各组数的大小:
(1) (3)
1 1
1.53，1.73，
2
J 3 2 ，
(2)
3
-.3
7
，
10 7
1.1
2 - 3
-2-2
2
一 3
-2-2
2 - 3
W- 7
2 - 3
10
一 7
2 - 3
.2
X —
4 - 3
X —
X —
7 、2
「y x 3在0,上单调递减'且10亍12 ,
2
2
2
2
7 3
、2 3
1
前
7 3
2 3 4
1.21 3，即:
V 1.1 3
10
2
10
2
点评：比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是:
(1) 若能化为同指数，则用幕函数的单调性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性;
(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比 较大小.
求m 的值.
2
解：•••幕函数y x m 2m 3 ( m Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点, • m 2 2m 3是奇数，• m 0或 m 2 .
例6设函数f (x )= x 3，
(1) 求它的反函数；
(2) 分别求出厂1 (x )= f (x ),厂1 (x )>f (x ),厂1 (x )v f (x )的实数x 的范围.
1
解析：(1)由y =x 3两
边同时开三次方得x = 3 y , •「1 (x )二x?.
1
(2)v 函数f (x )= x 3和厂1 (x )= x 空的图象都经过点(0, 0)和(1, 1). •••厂1 (x )= f (x )时，x =± 1 及 0;
在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 厂1 ( x )> f ( X )时，x v — 1 或 0v X V 1 ；
1
m 2m 3 0，二 1 m 3;
a 1 0 a 1 0 有三种可能： a 0
或 3 2a 0 或 3 2a 0 , a
3 2a 0
a 1 3 2a
a 1 3 2a
2
x m 2m 3 ( m Z )的图象与 x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称,
■/ m Z ， • (m 2 2m 3) Z ，又函数图象关于原点对称, 例5•已知幕函数y
厂1(x)v f (X)时，x> 1 或一1 v x v 0.
点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦.
2 1
例7、求函数y= x5+ 2x5+ 4 (x> —32)值域.
1
解析：设t = x5,••• x> —32,二t> —2,则y= t2+ 2t + 4=( t + 1) 2+ 3.
当t =— 1 时，y min = 3.
2 1
•函数y= x5+ 2x5+ 4 (x > —32)的值域为］3,+ ).
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.
【同步练习】
解析：函数可化为根式形式，即可得定义域. 答案：B
1
5.
函数y =( 1 — x 2) 2的值域是( )
A . [0,+x]
B . (0, 1)
C . (0, 1)
D . [0, 1]
解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令 t = 1 — x 2,则科=t .
••• — K x < 1,二 0< t < 1,二 0< y < 1.
答案：D
2
6.
函数y = x 5的单调递减区间为( )
A . ( — x, 1)
B . ( — x, 0)
C . [0,+x]
D . ( — x, +
oo
1. 下列函数中不是幕函数的是(
)
A. y . x
B. yx 3
C. y
答案：C
2. 下列函数在 ,0上为减函数的是(
1
A. y x 3
B. y x 2
C. y
答案：B
3.下列幂函数中疋义域为
x x 0的是(
2
3
A. y x 3
B. y x'
C. y 答案：D
4.函数 y =(x 2
- 1
-2x )
2
的定义域是(
2x
D. y x
)
3
D. y
2
x
x
)
2
3
x^
D. y x 2
A . {X |X M 0 或 x 壬 2}
B . ( — x, 0) D . (0, 2)
)
(2,+x) C . ( — x,
o )
[2,+x
2
解析：函数y= x5是偶函数，且在［0,+^)上单调递增，由对称性可知选B.
答案：B
7•若a2v a 2，则a的取值范围是( )
1 _ 1
A. a> 1
B. a>0
C. 1 >a>0 D . 1 >a>0
解析：运用指数函数的性质，选C.
答案：C
8.函数y= (15+2x_x2)3的定义域是_____________________________ 。
解析：由(15+ 2x_x2) 3>0.A 15+ 2x_x v20.二一3<x<5.
答案：A
1
9•函数y= 2—m_m2在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_____________ .
x m m
解析：m的取值应该使函数为偶函数.故m=—1.
奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.
2
思路：函数y= x5是幕函数.
2
(1)要使y= x5= Vx2有意义,
x可以取任意实数，故函数定义域为R.
(2)v x R，.°. x2> 0.二y>0.
(3) f ( —x)= 5 (—x)2二5 x2二f (x)，
2
•••函数y= x5是偶函数；
2
(4)v n= >0，
5
2
•••幕函数y= x5在］0，+ ］上单调递增.
2
由于幕函数y= x5是偶函数，
2
•••幕函数y= x5在(—，0)上单调递减.
2
10、讨论函数y= x5的定义域、值域、
(5)其图象如下图所示.
12•已知函数尸415— 2x —x2.
(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；
(3)求函数的单调区间.
解析：这是复合函数问题，利用换元法令t= 15—2x—x2,则y= 4t ,
(1)由15—2x—x2>0得函数的定义域为[—5, 3],
••• t= 16—( x—1) 2[0, 16]. A 函数的值域为[0, 2]
(2)v函数的定义域为[—5, 3]且关于原点不对称，二函数既不是奇函数也不是偶函数.
(3)v函数的定义域为[—5, 3],对称轴为x= 1,
二x [ —5, 1 ]时，t随x的增大而增大；x (1, 3)时，t随x的增大而减小.
又•••函数y= 4t在t [ 0, 16]时，y随t的增大而增大，
•••函数y= V15-2x—x2的单调增区间为[—5, 1],单调减区间为(1, 3].
答案：(1)定义域为[—5, 3],值域为[0, 2];
(2)函数即不是奇函数，也不是偶函数；
(3)(1, 3].。