最优化思想
——黄金分割和优选法
斐波那契数列及其应用 • 斐波那契《计算之书》兔子问题（1202年） • 如果每1对成兔每月生1对幼兔，幼兔经 过2个月后成为成兔，即开始繁殖， • 问年初的1对幼兔经过1年后能繁殖成多 少对兔子？ • 假定这一过程兔子不发生任何死亡。
ห้องสมุดไป่ตู้
由兔子问题抽象得递推关系 本月底幼兔总对数=上上个月底兔子总对数 所以：本月底兔子总对数 =上月底兔子总对数+上上个月底兔子总对数。
美观矩形
风景照片中 地平线的位置
正五角星中的线段比
（正五角星很美）
AB 0.618 AC
AB 0.618 AD
E' B
C
A'
D
AD 0.618 DC
A
D' C'
B'
E
舞台报幕者的最佳站位 在整个舞台宽度的 0.618处较美
小说、戏剧、战争的高潮出现： 在整个作品的0.618处较好
黄金分割为什么美
• 为什么不是0.5的分割点让人感觉愉悦，而是
0.618的分割点让人感觉愉悦呢？
• 因为0.618的分割点反映了“恰到好处的和谐”。 华罗庚先生证明了： 黄金分割点具有再生性。 黄金分割点的再生性，是“黄金分割” 之所以美的数学依据。
BA 即：C 如果是 AB 的黄金分割点， C是 的 黄金分割点，C 与 C 当然关于中点O 对称。 特殊的是， C 又恰是 AC的黄金分割点。同样， AC 如果 C 是 CA的黄金分割点，则 C又恰是
的黄金分割点，等等，一直延续下去 。（再生）
0.618优选法（黄金分割法）
• 问题：做2千克大米的干饭，放多少水最好吃？
• （1000g-2000g)
• “饭好吃f(x)”是“放水量x”的函数； • 但不知其具体表达式，或即使知道但太复杂；
• 函数f(x)有何特点？
• 单峰（谷）函数
• 不能用数学方法寻找单峰函数的最优点，怎么办？ .
用un表示第n个月底兔子的总对数 ，则有
u1 1, u2 2 (n 1,2,3) un 2 un1 un .
——斐波那契数列。(A.Girard,1634) 为方便，补充定义u0=1。
“走楼梯”问题
• 某人要走一架n个台阶的楼梯，某人每步 向上走1个台阶或2个台阶。 • un表示该人从地面向上走到第n个台阶时 所有不同的走法种数，求un。
n
解法1：
n-2
n-1
按第一步的 走法分类
2 1
4 3
当地面看，在这上面还有（n-1）个台阶 地面
n n-1 n-2
un=un-1+un-2 (n≥3)； u1=1,u2=2。 斐波那契数列
2 1
4 3 当地面看，在这上面还有（n-2）个台阶
地面
n阶
1 2 3 4 5
楼梯的所有走法
(1) (11)； (2) (111)；(21),(12) (1111)；(211),(121),(112)；(22) (11111);(2111),(1211),(1121),(1112) (221),(212),(122) 1 2 3 5 8
n n-1 n-2
4 3 2 1 地面
n阶
1 2 3 4 5 6 … n (1) (11),(2)
楼梯的所有走法
1 2 3 5
un
(111),(21),(12) (1111),(211),(121),(112),(22)
(11111),(2111),(1211),(1121),(1112), 8 (221),(212),(122)
5 1 2
黄金分割率，它是美的标准之一，也 是优选法的理论基础。
黄金分割的美（黄金比0.618）
人体各部分的比
肚 脐： 印堂穴： （头—脚） （口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
著名建筑物中各部分的比
埃及的金字塔，高（137米）
与底边长（227米）之比为
0.629.古希腊的巴特农神殿， 塔高与工作厅高之比为 340∶553≈0.615
选修3-1：数学史选讲 选修3-3：球面上的几何 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类 选修4-1：几何证明选讲 选修4-2：矩阵与变换 选修4-3：数列与差分 选修4-4：坐标系与参数方程 选修4-5：不等式选讲 选修3-2：信息安全与密码 选修3-4：对称与群 选修3-6：三等分角与数域扩充 选修4-6：初等数论初步 选修4-7：优选法与试验设计初步 选修4-8：统筹法与图论初步 选修4-9：风险与决策 选修4-10：开关电路与布尔代数
• 通过作试验的方法来寻找最佳点。
• 优选法是以最少的试验次数迅速找到最佳点的试验方法。
• 这是最优化一种新的思维方法！
• 问题：做2千克大米的干饭，放多少水最好吃？ （1000g-2000g) • 最“笨”的方法是分别加入1001克，1002克，…， 2000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。 • 华罗庚证明了，每次取试验区间的0.618处去做试验 的方法，才是最好的，这种优选法称为“黄金分割 法”或“0.618法”。
un
… n
u4 C 4 C3 C 2
0 1 2
0
1
2
u5 C 5 C 4 C 3
k
0
1
2
un C n C n1 C n2 C n k ，贾宪三角形表达式 n 其中k [ ] 2
E.Piccioli，1916
u1 1, u2 2 (n 1,2,3) un 2 un1 un .
浙江省中小学教师专业发展培训项目
高中数学知识拓展指导
温州大学数学与信息科学学院 黄忠裕 zyhuang0577@
2012年12月16日
浙江普通高中知识拓展类选修课程实施方案
必修拓展课程从国家课程选修模块中选用： 数学1-1，数学1-2，数学2-1、数学2-2、数学2-3 大学初级课程：微积分、线性代数、空间解析几何 介绍学科最新成果的课程：现代数学概览、分形几何 学科应用性课程：数学史选讲、信息安全与密码、球面上的几何、 几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、 不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、风险与决 策、开关电路与布尔代数、生活中的数学、数学与经济
1 5 n1 1 5 n1 un [( ) ( ) ] 2 2 5 1
通项公式
De Moivre提出，J.P.M.Binet 1843年证明，世称Binet公式
该数列相邻两项之比构成 1 1 2 3 5 8 , , , , , , 的“比值”数列 1 2 3 5 8 13 该数列极限为