三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()=sin x与y=sin(x+π)=cos x与y=sin=sin x与y=sin(-x)=-sin(2π+x)与y=sin x解析:由诱导公式易知y=sin=cos x,故选B.答案:B=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是()解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于()A. B.C. D.解析:如图:由图象可知,x=.答案:A5.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是()A. B. C. D.解析:由sin≥-,得cos x≥-.画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈.答案:C6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.?解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是.?解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为答案:8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=;⑤y=.其中与函数y=sin x 图象形状完全相同的是.(填序号)?解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y==|cos x|的图象和⑤y==|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同.答案:①③9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:①y>0;②y<0.(2)直线y=与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点解:列表:x-π-0πsin0-1010x-sin010-10x描点作图:(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);②当y<0时,x∈(0,π).(2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点.B组1.函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析:数形结合法,令f(x)=-cos x=0,则=cos x.设函数y=和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.答案:B2.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位,得g(x)的图象D.向右平移个单位,得g(x)的图象解析:∵f(x)=sin=cos x,g(x)=cos=sin x,∴f(x)的图象向右平移个单位,得g(x)的图象.由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确.答案:D3.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是()A. B.C. D.解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.答案:C4.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是.?解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:因为sin,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.答案:5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=的定义域是.?解析:由题意,得∴∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y=的定义域为,k∈Z.答案:,k∈Z6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.?解析:y=2sin x的部分图象如图.当x=时,y max=2,当x=时,y min=1,故y∈[1,2].答案:[1,2]7.画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出:(1)y≥时x的集合;(2)-≤y≤时x的集合.解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y=在[0,2π]上与正弦曲线交于两点,在[0,2π]区间内,y≥时x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为.(2)过两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(k∈Z),(k∈Z)和点(k∈Z),(k∈Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-≤y≤时x的集合为.8.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出y的取值范围;(2)若函数图象与y=在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.解:列表:x0π2πsin x010-102+sin23212x描点、连线,如图.(1)由图知,y∈[1,3].(2)由图知,当2≤<3时,函数图象与y=在[0,π]上有两个交点,即-5<a≤-3.故a的取值范围是(-5,-3].正弦函数、余弦函数的性质(一)A组1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为()π C.π解析:T==2.答案:D2.下列函数中,周期为的是()=sin=sin 2x=cos=cos(-4x)解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,∴T=,故选D.答案:D3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析:因为f(x)=sin=-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B4.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=()C. D.解析:由已知T1=,T2=,∴sin(T1+T2)=sin=sin=-sin=-.答案:B5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=()A.解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,所以f=f=sin.答案:A6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于对称.?解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.答案:原点7.函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω=.?解析:∵y=sin的最小正周期为T=,∴,∴ω=3.答案:38.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)=.?解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.答案:09.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin x的奇偶性.解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sin x=cos x-x3sin x的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x),所以f(x)为偶函数.10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,求f的值.解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,∴f=f=f=f.而f=f=f=f=1,∴f=1.B组1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是()解析:∵T=≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.答案:D3.将函数y=sin x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()=f(x)是奇函数=f(x)的周期为π=f(x)的图象关于直线x=对称=f(x)的图象关于点对称解析:y=sin x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点(k∈Z)对称,当k=-1时,点为,故D正确.综上可知选D.答案:D4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈时,f(x)=cos x,则f=()A. B.解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f=f=f.又f(x)是奇函数,∴f=-f=-cos=-.答案:C5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:①f<f;②f<f;③f(sin 1)<f(cos 1).其中一定成立的是.(填序号)?解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,∴f(x)在[0,1]上是减函数.∵1>sin>cos>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos>sin>0,∴f<f,f(sin 1)<f(cos1),f>f.答案:②③6.已知函数y=sin x+|sin x|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=sin x+|sin x|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x.(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;(3)求当f(x)≥时x的取值范围.解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈时,f(x)=sin x,∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.又当x∈时,x+π∈,f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.(2)如图.(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=,∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈.又f(x)的周期为π,∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.正弦函数、余弦函数的性质(二)A组1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是()A. B.C. D.解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.故选C.答案:C2.(2016·福建三明一中月考)y=cos(-π≤x≤π)的值域为()A. B.[-1,1] C. D.解析:因为-π≤x≤π,所以-.所以-≤cos≤1,y=cos(-π≤x≤π)的值域为.答案:C3.函数f(x)=3sin在下列区间内递减的是()A. B.[-π,0]C. D.解析:令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为,k∈Z.从而可判断,∴在x∈时,f(x)单调递减.答案:D4.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为() A.B.C.D.解析:∵T==4π,∴ω=.∴f(x)=2sin.由x-=2kπ-(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z).答案:A5.已知函数f(x)=sin,x∈R,下列结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图象关于y轴对称D.函数f(x)是奇函数解析:f(x)=sin=-sin=-cos x,∴周期T=2π,∴选项A正确;f(x)在上是增函数,∴选项B正确;定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,∴选项C正确,选项D错误.答案:D6.函数y=sin |x|+sin x的值域是.?解析:∵y=sin |x|+sin x=∴-2≤y≤2.答案:[-2,2]7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是.?解析:∵y=cos x在[-π,0]上为增函数,又在[-π,a]上递增,∴[-π,a]?[-π,0].∴a≤0.又∵a>-π,∴-π<a≤0.答案:(-π,0]8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=.?解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,∴=2kπ+,ω=6k+,k∈Z.又0<ω<2,∴ω=.答案:9.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.(1)求f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:由已知得=π,ω=1,∴f(x)=sin.(1)当x∈时,≤2x+.∴-≤sin≤1.∴f(x)值域为.当2x+时,f(x)取最小值-,∴x=时,f(x)取最小值.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).∴f(x)的递增区间为(k∈Z).10.已知函数f(x)=2a sin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.解:∵0≤x≤,∴≤2x+.∴-≤sin≤1.∴a>0时,解得a<0时,解得因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.B组1.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则()<b>b<1 >解析:∵0<α<β<,∴<α+<β+.而正弦函数y=sin x在x∈上是增函数,∴sin<sin.∴sin sin,即a<b.答案:A2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2a sin x的最大值为() +1解析:令sin x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.∵a>1,∴当t=1时,y max=12+2a×1=2a+1,故选A.答案:A3.函数y=cos的单调递增区间是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z解析:函数y=cos=cos,令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故单调递增区间为,k∈Z.答案:B4.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为.?解析:∵,∴y=2sin-cos=2cos-cos=cos.∴y min=-1.答案:-15.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin ωx的周期是.?解析:令2kπ-≤ωx≤2kπ+可得≤x≤,∴k=0时,f(x)在上递增.又∵f(x)在上递增,∴解得0<ω≤.∴ω的最大值为.∴周期T=.答案:6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;③该函数的图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤.其中正确命题的序号是.?解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值,为-1,故①②错误.由图象知,函数图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤,故③④正确.答案:③④7.已知函数y=sin.(1)求函数的周期;(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.解:y=sin可化为y=-sin.(1)周期T==π.(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以x∈R时,y=sin的单调递减区间为,k∈Z.从而x∈[-π,0]时,y=sin的单调递减区间为.8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)若x∈,求y=f(x)的值域.解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=.所以函数的解析式是y=sin.令2x+,k∈Z,解得x∈,k∈Z.所以函数的单调递增区间为,k∈Z.(3)因为x∈,所以2x+.所以sin,即函数的值域为.正切函数的性质与图象A组1.当x∈时,函数y=tan |x|的图象()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.没有对称轴解析:∵x∈,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.答案:B2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tan的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析:因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.故kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是,k ∈Z.答案:B3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为()A. B. C.π解析:由已知得f(x)的周期为2,∴=2.∴a=.答案:A4.函数f(x)=的奇偶性是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析:f(x)的定义域为,∴f(-x)==-f(x).∴f(x)是奇函数.答案:A5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈内的大致图象,那么由a 到d对应的函数关系式应是()A.①②③④B.①③④②C.③②④①D.①②④③解析:y=tan(-x)=-tan x在上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.答案:D6.已知函数y=3tan的最小正周期是,则ω=.?解析:由题意知,T=,∴ω=±2.答案:±27.函数y=3tan的对称中心的坐标是.?解析:由x+,k∈Z,得x=,k∈Z,即对称中心坐标是(k∈Z).答案:(k∈Z)8.满足tan≥-的x的集合是.?解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-≤x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x<kπ+,k∈Z.故满足tan≥-的x的集合是.答案:9.求函数y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解:由4x-≠kπ+,得x≠,∴所求定义域为,值域为R,周期T=.又f没有意义,f=tan=0,∴f(x)是非奇非偶函数.令-+kπ<4x-+kπ,k∈Z,解得<x<,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z),不存在单调递减区间.10.已知函数f(x)=2tan(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,则=2π,由于ω>0,故ω=.所以f(x)=2tan.再由kπ-x+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.解:∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.令tan x=t,则t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-时,y min=-4,当t=1,即x=时,y max=4.故所求函数的值域为[-4,4].B组1.函数y=的定义域为()A.B.C.D.解析:由题意知即得故x≠(k∈Z).答案:A2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=()A.±1 C.±2解析:∵函数g(x)的周期为=π,∴=π,∴ω=±1.答案:A3.设a=lo tan 70°,b=lo sin 25°,c=,则有()<b<c<c<a<b<a<c<b解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lo tan 70°<0.又∵0<sin 25°<sin 30°=,∴b=lo sin 25°>lo=1.而c=∈(0,1),∴b>c>a.答案:D4.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则ω的取值范围为.?解析:由题意可知ω<0,又.故-1≤ω<0.答案:-1≤ω<05.已知y=2tan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=,φ=.?解析:由题图可知,当x=时,y=2,即2tan=2,tan=1,即ω+φ=kπ+(k∈Z).①又直线x=为它的一条渐近线,∴ω+φ=kπ+(k∈Z), ②而ω>0,|φ|<,由①②可得答案:2-6.方程-tan x=0在x∈内的根的个数为.?解析:分别画出y=与y=tan x在x∈内的图象,如图.易知y=与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案:27.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,其中0<φ<,试求函数f(x)的单调区间.解:由于函数y=tan x的对称中心为,其中k∈Z,则+φ=,即φ=.由于0<φ<,所以当k=2时,φ=.故函数解析式为f(x)=tan.由于正切函数y=tan x在区间(k∈Z)上为增函数,则令kπ-<3x+<kπ+, 解得<x<,k∈Z,故函数的单调增区间为,k∈Z.没有单调减区间.8.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.解:(1)由+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,∴f(x)的定义域是.∵ω=,∴周期T==2π.由-+kπ<+kπ(k∈Z),得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z).∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由-1≤tan,得-+kπ≤+kπ(k∈Z),解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).∴不等式-1≤f(x)≤的解集是.(3)令=0,则x=.令,则x=.令=-,则x=-.∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=.从而得函数y=f(x)在区间内的简图(如图所示).函数y=A sin(ωx+φ)的图象A组1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为()=sin 2x=-sin 2x=cos=cos解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度,就得到y=cos 2=cos的图象.即y=-sin 2x的图象.答案:B2.某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:ωx+φ0π2πxy020-20则有()=0,ω=,φ=0 =2,ω=3,φ==2,ω=3,φ=-=1,ω=2,φ=-解析:由表格得A=2,,∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.答案:C3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是()A. C.解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象.又所得图象过点,∴sin=0.∴sin=0,∴=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.答案:D4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为()A.最大值为的偶函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π,且最大值为2的函数D.最大值为2的奇函数解析:y=siny=sin=sin 2xy=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D.答案:D5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:函数y=3cos 2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象.答案:D6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到的图象.?解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin 3x的图象.答案:y=sin 3x7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上.?解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.∴ω=2.∴f(x)=sin.又g(x)=sin=sin,∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变8.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于.?解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f=cos=cos的图象, 则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6.答案:69.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y=sin x的图象,试求y=f(x)的解析式.解:将y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,化简得y=-cos x.再将y=-cos x的图象上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos 2x的图象,所以f(x)=-cos 2x.10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f(x)=3sin,x∈R.(1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到.解:(1)列表:2x+0π2πx-f(x)030-30简图如下:(2)将函数y=sin x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y=3sin的图象.B组1.给出几种变换:(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;(2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变;(3)向左平移个单位长度;(4)向右平移个单位长度;(5)向左平移个单位长度;(6)向右平移个单位长度.则由函数y=sin x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是()A.(1)→(3)B.(2)→(3)C.(2)→(4)D.(2)→(5)解析:由y=sin x的图象到y=sin的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5).答案:D2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为()A. B. C. D.解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,若此函数图象关于y轴对称,则-+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,有φ=.故选B.答案:B3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则()A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=-C.ω=,φ=D.ω=,φ=-解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin x的图象, 则答案:B4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为.?解析:y=sin x y=3sin x y=3sin(x-3)=3sin.答案:y=3sin5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是.?解析:把y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos 4x的图象.答案:y=2cos 4x6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=.?解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos=cos(2x+φ-π),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+φ-π=2x+,解得φ=,符合-π≤φ<π,故答案为.答案:7.已知函数y=cos.求:(1)函数的周期及单调递减区间;(2)函数的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换得到解:(1)∵ω=2,∴T==π.由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∴函数的周期为π,单调递减区间为,k∈Z.(2)将函数y=cos x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y=cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),即得y=cos的图象.8.设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω;(2)若f,且α∈,求tan α的值;(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.列表:x0πy-11描点连线:解:(1)∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.(2)由(1)知,f(x)=sin.由f,得sin α=,∴cos α=±.又-<α<,∴cos α=,∴tan α=.(3)由y=sin知:x0πy--1010-故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:。