三角函数的图象与性质、知识网络基弃变换三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx.（2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性(i)g (x)=* (x€ R)g (x )为偶函数 ' 二二—「二：O卫址1(徴 + © =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应)cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7)由此得同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）.（ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■•■.八为偶函数' ..为奇函数O <P=^JT+ —(itc Z)3、周期性(1)基本公式■■ 和「小十：|「 上1' ' - ■ ■的周期为-- -I '-的周期加n(船+训+卅丿十⑹他+少)+日的周期为石；J 「■:■川■'： .. |I'-：-1 I A' I J 的周期为该函数的周期不变.注意这一点与(i)的区别(ii)若函数为’" 「：型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.(iii)探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明(3) 特殊情形研究(iii) y = sin 4x + COS 4x 的最小正周期为 二.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象4、单调性1y = tanx — cotx 的最小正周期为 二(i)基本三角函数的周期 y = sinx , y = cosx 的周期为jjT ；y = tanx , y =cotx 的周期为；丁 .(ii) •' ‘：儿’匸；型三角函数的周期y =儆+ 炉)+^,jy = J 4CC >S (<3X + 炉)+丘的周期为竺kl7Ty = / tan (阪 ++ 上丿=/cot (血+饲 + 上的周期为(2)认知-I ' ' ："'型函数的周期7T-；11- - ■: - 1 的周期为 门；71均同它们不加绝对值时的周期相同，即对J的解析式施加绝对值后,y = sin z|+|co3J ：的最小正周期为(1) 基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族)循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域•(2) y c■'型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为①换元、分解：令u=''"，将所给函数分解为内、外两层：y= f (u) ,u：；②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u的不等式；③还原、结论：将u=「「代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论•(二)三角函数的图象1、对称轴与对称中心(1) 基本三角函数图象的对称性孟二匕?T + —(k G Z)(i)正弦曲线y = sinx的对称轴为- ；正弦曲线y = sinx的对称中心为( , 0) 住€刃(ii)余弦曲线y = cosx 的对称轴为L余弦曲线y = cosx的对称(/(心)(iii)正切曲线y = tanx的对称中心为 - 轴•正切曲线y=tanx无对称认知：①两弦函数的共性:x = ■为两弦函数f (x)对称轴■ ■-为最大值或最小值；(！，0)为两弦函数f ( x)对称中心:■■1■- = 0.②正切函数的个性：（! , 0）为正切函数f （x）的对称中心= 0 或/ 不存在•（2）‘二-- 型三角函数的对称性（服从上述认知）（i）对于g（x）= 二二或g（x）=—V工的图象x =丄为g （x）对称轴;为最值（最大值或最小值）；（丄,0）为两弦函数g （x）对称中心-■1= 0.（ii）对于g（ x）=m-工的图象（已，0）为两弦函数g （x）的对称中心~ =0或■-不存在•2、基本变换（1）对称变换（2 ）振幅变换（纵向伸缩）（3 ）周期变换（横向伸缩）（4 ）相位变换（左右平移）（5 ）上、下平移3、y =sc＜的图象（1）五点作图法（2）对于A, T,门，二的认知与寻求：①A:图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2A :图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.TZ —②一：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；-:图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.-:由T=司得出. ③二：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）四、经典例题例1、求下列函数的值域：2 sinz cos J迂y =1+sin z象与x轴交点坐标代入函数式求F，则须注意检验，以防所得莎值为增根;r/d c6sy = ------ :——2 +sin x y= (4-3sin H)(4-3CCS X)(1) (2) (3)分析：对于形如（1） （2） （3）的函数求值域，基本策略是（i ）化归为：?的值域；（ii ）转化为 sinx （或cosx ）的二次函数；对于（4）（ 5） （ 6）之类含有绝对值 的函数求值域，基本策略则是（i ）在适当的条件下考察 y 2; （ii ）转化为分段函数来处理；（iii ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化解：2sin xcos 1 x y = :-------- U>(1)一 :_i..y= 2sin 忑(1-泄1 恳圣一1)-4 <y< — 、2 ,即所求函数的值域为 y- 語匚°s"彳加gm 工一 V5亡&替t = -2y（2）由• Jb +%MI （H + Q 二-如（其中命辅助角）個（x+卩）二"Jy + 了注意到这里x € R,石务 |g|-2水产«-!<><!•••所求函数的值域为［—1, 1］.（3 ）这里丄八；一 令畑+ cosx = t 则有1小 ”gin 盂匚OSH 二一（f — 1）t 二V2血仗+为得t E 卜忑砸］且由-归6_⑵十？（尸_1）（-屁出血）于是有-(4)(5)y = sin A |+ sin|?c|(6) = |sin x|+ i ；c?5；t|-Fsin * 2z2 sin 工(1 一血 3x) y=Oy 二一2(sm ^-|)a -F|(sin J ^-1)-1 <sin x<I,:. 0 <(sin A — £尸 <£_幻->/5 <17+12^/5 &虫》虫〒+12*亞- -•所求函数的值域为I I ■!(X )图象的一条对称轴②递增④于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 -' -3)运用的是求解关于 sinx + cosx的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5) (6 )则是利用函数性因此，所求函数的值域为(4)注意到这里y>0,且h=l +阪2工..sin 2x\ <1：. 1< 2(5)注意到所给函数为偶函数，又当止。
时，y 二(sin h+sin 乂•此时----(6)令H 归in r|+|cos i| + £in 4 2x则易见f (x )为偶函数,7F且…「亠•••二是f (x )的一个正周期.①只需求出f (x )在一个周期上的取值范围]时 y (;r )!=sin cos + sm 2x又注意到•••只需求出f (x)上,sin工 +co£ x =J : + —)4递增.•••由③④得f (X) 在［0 ,-］上单调递增.点评：解(1)( 2)运用的是基本化归方法；解(与 sinxcosx-刃二于(刃质化繁为简，化暗为明•这一点在解（6）时表现得淋漓尽致• 例2、求下列函数的周期：(2) •' 一71所求函数的周期为 -y（4）（或sinx<0 ）的解区间重复出现的最小正周期为3sinx 及-sinx 的周期为 2匚，又sinx >0 2汀.•所求函数的周期为刃.(1)7Ty — Ein( — - 2j) + sin(3)（4）"他工+轴讨；(5)£111 H CO"分析：与求值域的情形相似, 求三角函数的周期， 首选是将所给函数化为 亠一 ■二--+ k 的形式，而后运用已知公式 下，设法转化为分段函数来处理.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况尹二(1 —co?2x) + 2sin 生-F 3(^ ~*"cos解：(1) ' '-(2sin 2x+^cos2j)d-y叭2岌+坊+）其中辅助角tp = sman -）T= —=7T•••所求最小正周期-1 + COS 2?L(2)—cos 3 '+ —=一 二1 鼻 7—COS42C-I-—2S•••所求周期y= (3)sin 2i —sin( 2忑-◎sin 2x_(sm 2xcos —- cos 2xsm —)6 6建H +妙其中炉为辅助S.注意到麻忑地（2疋斗朝的最小正周期为洱,故sin > 0;sin x < 0.注意到sin xcosx, sin x > 0; -sin x cosx, sinx < 0 -sin 2x, sin x > 0;2--sin2x, sin x <0. I 2的最小正周期「:又sinx >0 (或sinx<0 )的解区间重复出现的最小正周期］•八，这里'1-'亠的最小公倍数为：八 •••所求函数的周期了—二；点评：对于(5),令3)*2应宀 则由/(x + ^)=/(z)知，加 是f ( x )的一个正周期•① 又 f （K +Tt ） = |sin （x + 7T ）|cos （x + 冗）二-|sin x cosx 二 f （幻 •-不是f (x )的最小正周期•②于是由①②知，f (x )的最小正周期为 二〒. 在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期， 仅考虑各段函数 的最小正周期的最小公倍数是不够的， 还要考虑各分支中的条件区间 重复出现的最小正周期•双方结合，方可能获得正确结果 • 请大家研究「sin jr.sm A >0; [-sin x n gffi x <0 的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验 • 例3、已知函数的部分图象， (1)求QG 的值； (2)求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标 解： (1)令■■- - 匸，则由题意得f (0)= 1- 7T 兀注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为 1171 7T - 1 l?r (» ----- +— = 271--，故逆用“五点作图法” 得：1由此解得<=> y = <注意到sin2x③它的周期为；丁 ;④它在区间〔一■' , 0〕上单调递增.j (羽=2s£n((2 )由(1 )得--■ 令；-' ■，解得x +—(A ： e Z) 2x-i- — = hjr(k e Z)•函数f (x )图象的对称轴方程为］'■ ';令 「解祀7T JT兀二-- ——得 -■-•••函数f (x )图象的对称中心坐标为- --点评：前事不忘，后事之师•回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内 图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：c 幵引T+； 切勺+护二兀 +诃二尹二logi 匚。