w V 2
E
E D 2
此式虽然是从电容器且是匀强电场中推出的，但可以 证明它是一个普遍适用的式子，不仅对所有电容器适 用，而且对所有的电场都适用。电场的能量密度正比 于场强的平方，场强越大，电场的能量密度也越大。 对于非匀强电场，其能量
1 W wdV D EdV 2
q1 V1 4 0 r 1
V 0
所以
q1q2 A q2V2 4 0 r
1
A
q1
r
B
q1
q2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到点，外力 做功为
q1q2 A q1V1 4 0 r
1
两种迁移过程虽不同，但外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能W。
一.
电场对于置于场中的电荷有力的作用，电荷在静 电力的作用下移动要作功，说明电场具有作功的本领， 具有电场能。相反，要使物体不断带电而形成电场， 外力也必须克服电荷间的相互作用而作功。电场的能 量在数值上就等于外力克服电场力所作的功，即
W A Udq
我们以电容器为例来求这个能量的大小。电容器的 带电过程是不断地从原中性的某一极板B将正电荷不断 移向另一极板A的过程，设电容器的电容是C，某时刻 两极板分别带＋ q 和－ q 的电荷，板间的电势差为 Δ U ＝q／C ，则这时将dq电荷由B板移到A板外力作的功
三. 静电能
如图所示,两个点电荷q1、q2相距无穷远,电势为零。 先将q1 从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无限，外力做功等于 零。
A
q1
q1
q2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力做 功，其大小等于系统电势能的增量。
A q2 (V2 V )
V2是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势。
三个点电荷间的相互作用能
把q1移至A点,外力做功
再把q2移至B点,外力做功
A2 q2 4 0 r12 q1
A1 0
C q3 r13
q1
r23 A r12
q1
B
q2
4 0 r23 q2 )
最后把q3移至C点,外力做功 A3 q3 (
4 0 r13
1 q2 q3 q1 q3 W [ q1 ( ) q2 ( ) 2 4 0 r12 4 0 r13 4 0 r12 4 0 r23
可改写为
1 q1q2 W A 4 0 r
1 1 q2 1 1 q1 1 1 W q1 q2 q1V1 q2V2 2 4 0 r 2 4 0 r 2 2
1 2 qiVi 2 i 1
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等于 每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能的代数 和的一半。
q3 ( 4 0 r13 q1 4 0r23 q2 )]
1 1 3 (q1V1 q2V2 q3V3 ) qiVi 2 i 1 2
多个点电荷间的相互作用能
1 n W qiVi 2 i 1
式中Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
电荷连续分布时的静电能
RB RA 2 2
A
RB
4
Q2
Q2
2
r4
r 2 dr
Q 2 RB 1 RA 2 dr 8 r
1 1 1 2 4 / 4 R R B A
Q2
1 Q2 1 1 2C R R B A
这个结果也可以说明上式是对任何电容器都适用的普式。
Q 0
在极板带电从 0→Q整个过程中，外力这个功就是电容器所具有的电场能，即电容器储存的能 量为 Q2 1 1 2
W 2C 2 CU 2 QU
q Q2 dq C 2C
对于平行板电容器 代入上式得
W
U AB Ed , C
S
d
1 S 2 2 1 1 E d E 2 Sd E 2V D EV 2 d 2 2
式中 V 是电容器内电场空间所占的体积，它表明平行 板电容器所储存的电能与电容器内电场的强度、电介 质的介电系数以及电场空间的体积有关。
二. 电场的能量密度
电场的能量 W 反映了电场空间 V 体积内的总能量， 为了从能量角度比较电场的强弱，可以引入能量密度 的概念。所谓能量密度, 就是单位体积内的电场能量， 即 W 1 2 1
例题2 空气介质平行板电容器板面积为S，间距为d， 充电使两板带电±Q，断电后将二板拉开为2d，试求最 小的外力及其作的功。
解：①解法一：将板间电场视为匀强电场，
左板产生的电场为
右板所受引力 故外力作的功
Q E 2 0 2 0 S
Q2 F QE 2 0 S
Q2d A Fd 2 0 S
1 W dV 2 V
1 W dS 2S
例题1
解：设球形电容器所带电量为Q，内外半径为RA和 RB，中间充满介电常数为ε的介质，则
1 2 1 2 dW E dV E 4r 2 dr 2 2
所以 W dW 2E r dr 2 R
②解法二：两极板间距为d和2d时的电容为
C1 0 S d
C2 0 S 2d
所以拉开极板时，电场能量的增量
1 Q2 1 Q2 1 Q2d W W2 W1 2 C2 2 C1 2 0 S
由功能原理知
Q2d A W 2 0 S
A 1 Q2 F d 2 0S
+

C1
C2
A
d1
d d
d2
B
d 设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行地
例题 3 平行板空气电容 器如图所示, 每极板的面积 S = 3×10-2m2 ，板极间 的距离 d=3×10-3m 。今 以厚度为d’ = 1×10-3m的 铜板平行地插入电容器内。 （1）计算此时电容器的电 容；（2）铜板离板极的距 离对上述结果是否有影响？ （3）使电容器充电到两极 板的电势差为300V后与电 源断开，再把铜板从电容 器中抽出，外界需作功多 少功？