解: 因为 AX=A+2X, 所以(A–2E)X=A,
1 0 1 而 A 2E 1 1 0,
0 1 2
又
1 0 1 1 0 0 ( A 2E | A) 1 1 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1 6
线性代数习题课（一）
1 0 0 5 2 2
初等行变等
~ 0 1 0 4 3 2,
1 0 -1 1 0 1
1
线性代数习题课（一）
2、设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0), A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B，求a的值。 解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
-7 10 4 3 1 -7 1 x 求f(x)中常数项的值。 解：观察f(x)的结构可知，常数项的值为
d =-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)
=3
12
线性代数习题课（一）
9、设 A
1 2
1 3
,求A213014。
解：注意到A3=-E , A6=E，
故 A2014=(A6)335A3A
故 An=(λE+H)n=λ n E +λn-1H+λn-2H2
λn nλn-1 n(n-1) λn-2/2
= 0 λn
nλn-1
00
λn
9
线性代数习题课（一）
7、设矩阵
1 1 1 2
A 3 1 2 5 3 6
且r(A)=2，求 λ 和 μ 的值。
10
线性代数习题课（一）
1 -1 1 2 解：A r2↔r3 5 3 μ 6
其中α，β，r2, r3, r4均为4维向量，
且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。
|A+B|=|α+β，2r2, 2r3, 2r4|
=8(|A|+|B|) =40
4
线性代数习题课（一）
3 0 1 5、设 A 1 1 0
0 1 4
且 AX=A+2X, 求矩阵X.
5
线性代数习题课（一）
19
线性代数习题课（一）
14、设n阶矩阵 A、B、A+B可逆，
试证明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩阵。
证明：∵A+B=A(A-1+B-1)B, ∴|A+B|=|A|·|A-1+B-1|·|B|,
2
线性代数习题课（一）
3、设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。 G =E-(A+E)-1 =(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1 =A(A+E) -1 由A与A+E均可逆可知G也可逆，且 G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1
3
线性代数习题课（一）
4、设四阶矩阵A=(α , r2, r3, r4), B=(β, r2, r3, r4),
线性代数习题课（一）
101
1、设 A= 0 2 0 ,求 An –2An-1 (n≥2)。
101
解：An –2An-1 =(A-2E )An-1
-1 0 1
-1 0 1
= 0 0 0 An-1 = 0 0 0 A An-2
1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1 1 0 1
= 0 0 0 0 2 0 An-2 =0
17
线性代数习题课（一）
12、设A为可逆矩阵，证明其伴随矩阵A*也是
可逆的，且(A*)=(A-1)*。 证: A为可逆矩阵，则|A* |=|A|n-1≠0，
故A*是可逆的。又 A*=|A|A-1， 故(A-1)*=|A-1|(A-1)-1 =|A-1|A
显然 A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*。
15
线性代数习题课（一）
证(1): 当A = 0时, 则 | A |的所有代数余子式 均为0, 从而A* = 0, 故| A* | = 0. 当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明. 假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E, 故 A = AE = A[A*(A*)–1] = AA*(A*)–1 = | A |E(A*)–1 = O, 这与A 0矛盾, 故当| A | = 0时, | A* | = 0.
16
线性代数习题课（一）
(2) 当| A | = 0时, 则由(1)得| A* | = 0, 从而| A* | = | A |n–1成立. 当| A | 0时, 由 AA* = | A | E 得, | A | | A* | = | AA* | = || A | E | = | A |n, 由| A | 0得, | A* | = | A |n–1.
3 λ -1 2
r2-5r1 1 -1 1 2 0 r3-3r1 8 μ-5 -4
0 λ+3 -4 -4
r3-r2 1 -1 1 2 0 8 μ-5 -4
0 λ-5 μ +1 0
又 r(A)=2, 故 λ = 5 , μ = -1 11
线性代数习题课（一）
x -1 0 x 8、多项式 f(x)= 2 2 3 x ,
0 0 1 2 2 3
5 2 2 所以 X 4 3 2
2 2 3 7
线性代数习题课（一）
1 1
6、设 A 0 1
0 0
求 An
8
线性代数习题课（一）
解：设 A=λE+H，其中
01 1
00 1
H= 0 0 1 ， 则H2=),
18
线性代数习题课（一）
13、设矩阵A,B满足A*BA=2BA-E,其中 A=diag(1,-2,1), A*为A的伴随矩阵，求矩阵B
解:|A|=-2,故A可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1), 又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2) 故2(E+A-1)BA=E , 即B=(E+A-1)-1A-1/2 又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1) 故B=diag(-1,1/2,-1)
=-A
13
线性代数习题课（一）
1122
10、计算行列式
D=
3 2
-1 2
-1 1 1 -1
1230
5 5 4 0 5 5 4 -20 5 4
解：D=
5 2
1 2
00
1 -1 =
1230
5 1
1 2
0=
3
0 -9
10 23
-20 4
= -9 3 =24
14
线性代数习题课（一）
11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1) 若| A | = 0, 则| A* | = 0; (2) |A*| = | A | n–1.