第四章
运动方程的建立
y (t)
单自由度 体系模型
c m k
F (t)

质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
单自由度体系运动方程的建立（直由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。

代入：


单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
0 v

sint v0 cost
（3-11）
第六章 简谐振动荷载反应
谐振荷载：
p (t )
k 1

则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。
nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数

广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。
1.3 动力荷载类型
概念：动荷载是时间的函数！
分类： 确定性荷载 动荷载 非确定性荷载
周期性荷载 非周期性荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如： 简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
FP
突加荷载
t
（1）简谐荷载 荷载随时间周期性变化，并可以用简谐函数来表示。
机器转动引起的不平衡力等。
F (t ) A sint ,

齐次方程的求解：
cv kv 0 mv
v(t ) Ge st
（3-2）
（3-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程； 可设齐次方程解的形式为：
(t ) Gse st v
代入（3-2）可得：
(t ) Gs2e st v
（3-3） （3-4）
(ms 2 cs k )Ge st 0 (ms 2 cs k ) 0
其特征方程为： 或：
c s s 2 0 m
2
式中2=k/m，是体系振动的圆频率。 根据阻尼系数c 值的不同，解出的特征参数s 值将具有不同的特性。
5.3无阻尼自由振动

对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大 位移称为振幅。
k m
• 运动的角速度称为自振圆频率：
补充内容
结构动力学基本理论
制作：柯世堂
主要内容
第1章 绪论 第2章 动力问题的基本特征 第3章 自由度的简化 第4章 运动方程的建立 第5章 自由振动反应 第6章 简谐荷载反应
第一章 绪论
1.1 结构动力学概述
1.2 结构动力的研究目的
1.3 动力荷载类型
1.1 结构动力学概述

结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究 结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间 历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性， 或为改善结构的性能提供依据。
y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程： 惯性力：
FI FD FS F ( t )
根据d’Alembert原理：
FI m y
弹性力：
等于弹簧刚度与位移的乘积：
FS ky
FD cy
阻尼力：
阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：
由此得到体系的运动方程：
cy ky F ( t ) m y
去掉外荷载
p(t)=0!
定义 等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。
结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的 自由振动。 运动方程：

cv kv 0 mv
自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移+初始速度

上式称为（二阶线性常系数）齐次方程；
P
P (t)
第三章 自由度的简化
3.1 自由度的定义 3.2 集中质量法
3.3 广义坐标法
3.4 有限元法
3.1自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力
惯性力的产生是由结构的质量引起的
动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确
定运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。 独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
3.2集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些 位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
适用于大部分质量集中在 若干离散点上的结构。 例如：房屋结构一般简化 为层间剪切模型。

所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
3.4有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
先把结构划分成适当（任意）数量的单元； 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标； 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）； 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
时间函数
结构动力问题的基本特征：
1、动力问题随时间而变化，必须建立反应时程中感兴趣的全部时间点 上的一系列解。 2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从 而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
动力反应的特点：
在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等） 都随时间变化，它的除与动荷载的变化规律有关外，还与结 构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则 在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能 确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。
m1
m2
m3
例如：
m
m1
m2
mk
mN
m1 x1 m2 x2 mk xk
mN xN
3.3广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和 来表示：
适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
1.2 动力学的研究目的
（1）研究结构自身的动力特性：如频率、周期、阻尼系数、 振型等
（2）掌握动荷载作用下，结构动力反应的计算原理和方法， 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下动内力与动位移的反应（变化） 规律 （3）为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
c s s 2 0 m
2
（3-2）
特征方程： If c=0：
s i
（3-7）
代入(3-2)得： 引入Euler方程：
v(t ) G1 e it G2 e it
e it cos t i sint
（3-9）
得无阻尼自由振动的位移反应：

（弧度 /秒 ；rad/s）
• 运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每 个角增量 2p 便发生一个完整循环，自振周期就是：
m T 2p k 2p （秒； sec）
• 单位时间内的循环次数称为自振频率：
f
1 T 2p
（次/ 秒；Hz）
定义
自由振动方程：
cv kv 0 mv
5.2运动方程的解
v (t) c m k p (t)

最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：
cv kv p(t ) mv

（3-1）
这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义 坐标反应。
v (t) c m k p (t)
T
T

结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：
FD cy
为质量的速度。 c 为阻尼系数， y

固有频率
y
t
T

质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成 的循环次数称为频率。 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。
阻尼
y y
t
t
F (t ) A cost ,
F (t ) A sin(t )
（2）冲击荷载
荷载的幅值（大小）在很短时间内急剧增大或急剧减小。 爆炸引起的冲击波、突加重量等。
10/9/2014
非确定性荷载：又称为随机荷载。
例如：
25 20 Wind speed (m/s)
荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，
（2-3）
第五章
自由振动反应
5.1 结构的振动反应 5.2 运动方程的解
5.3 无阻尼自由振动
5.1结构的振动反应
y
t
定义