二次函数之面积专题（讲义）
一、知识点睛
1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用“__________”的线．
几何中处理面积问题的思路：_______、_______、_______． 2. 坐标系中面积问题处理方法举例：
①割补求面积（铅垂法）：
Δ12APB S ah = Δ1
2APB S ah
=
②转化求面积：
ABP ABQ S S ∆∆= ABP ABQ S S ∆∆=
若P 、Q 在AB 同侧 若P 、Q 在AB 异侧 则PQ ∥AB 则AB 平分PQ
二、精讲精练
1.如图，抛物线经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B、C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB、MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．
2. 如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A 、C 两点，
其中C 点坐标为(2，t )．
（1）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 面积的最大值．
（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得
Δ6AGC S =如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
3.抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与直线y=-x+p交于
点A和点C(2,-3).
（1）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．
4.如图，抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．
（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与
△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；
若不存在，说明理由．
5.如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B，
与y轴交于点C(0，-3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，己知点H(0，-1)，在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
三、回顾与思考
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【参考答案】
一、知识点睛
1.横平竖直
2.公式、割补、转化
二、精讲精练
由抛物线223y x x =-++得A （-1，0），C （2，3） 设P （m ，223m m -++）（-1<m <2） 则E （m ，m +1）
∴PE =()2223-m 12m m m m -+++=-++
()2
2113127
33222228
APC
S PE m m m ∆⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅-++=--+
⎪⎝⎭ ∴当m =
12，27=8
APC S ∆最大 （2）过点G 作GF ⊥x 轴，交AC 于点F ，
设G （n ，2n 23n -++）（n <-1或者n >2） 则F (n ，n +1)，
∴()2
2G 11333GF 312332222
AC S n n n n n ∆⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅+--++=--⎣⎦ ∵G 6AC S ∆=，∴233
3622n n --=，解得n =3或n =-2
∴()()123,0,2,5G G --
由平行四边形对边平行且相等 Q 1(6，-3)、Q 2(1，2)
当点P 在直线AC 下方时，如图2，
因此，满足条件的P ，Q 点是P 1(3，0)， Q 1(6，-3)
或 P 2(-2，5)，Q 2(1，2)
由抛物线表达式：y =-2x 2+2x +3
∴A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）、P （1，4） ∵S △QMB =S △PMB
∴PQ 1∥BC ，Q 2 Q 3∥BC
又∵BC ：y =-x +3
设PQ 1：y =-x +b PQ 1过点P （1，4）
∴PQ 1：y =-x +5
得y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩25
23 即x x -+=2320
∴x 1=1（舍） x 2=2
∴Q 1（2，3）
又∵ PQ 1：y =-x +5 ，E （0，5） S △QMB =S △PMB
∴CF =CE =2
∴Q 2Q 3 ：y =-x +1
得y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩2123
即x x --=2320 ∴x 1=-3172 x 2=+3172
∴Q 2（
-3172，-+1172）Q 3（+3172，--1172）
（2）存在，坐标为R（+
12，2）理由：
过点P作PH⊥MR于点H
过点B作BI⊥MR于点I
连接PB交MR于点O′
∵S
△PMR =S
△BMR
∴PH=BI
易证△PHO′≌△BIO′
∴PO′＝BO′
又∵P（1，4）B（3，0）
∴O′（2，2）又M（1，2）∴M O′：y=2
得
y
y x x
=
⎧
⎨
=-++
⎩2
2
23
即x x
--=
2210
∴x1=+
12x2=-
12（点R在第一象限，舍去）
∴R（+
12，2）
5.（1）抛物线表达式为y=x2+2x-3
（2）存在
△GHC和△GHA有一公共边GH，如果以GH为底，对应的高相等，则S△GHC=S△GHA．。