解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC ∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，∴AB=
∴花园的面积为：y=x• =﹣ x2+20x（0＜x≤15）；
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣ x2+20x（0＜x≤15）；
二次函数中常见图形的的面积问题
1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
解：（1）第t秒钟时，AP=tcm， 故PB= （6﹣t）cm，BQ=2tcm， 故S△PBQ= •（6﹣t）•2t=﹣t2+6t ∵S矩形 ABCD =6×12=72． ∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）； （2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63， ∴当t=3秒时，S有最小值63cm．
5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)， B(0,4)，C(2,4)三点，且与x轴的另一个交点为E。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE的面积.
解：（1）将A（1，0），B（﹣3， 0）代入y=﹣x2+bx+c中得
∴ ∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
解：（ 2）存在 理由如下：由题知 A、B两点关于抛物线的对称轴 (3)如图 2，在(1) 中的抛物线上的第二象限上是否存在一 x= 1对称 PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及 点﹣ P，使△ ∴直线 BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 △ PBC的面积最大值；若没有，请说明理由 y=﹣x ﹣2x+3 （3∵ ）存在．理由如下：设 P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∴ C 的坐标为：（ 0，3）直线BC解析式为：y=x+3 ∵ S ，若S四边形BPCO有最 △BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣ 大值，则 S△BPC就最大， Q 点坐标即为 解得 ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC= BE PE+ OE（PE+OC） ∴Q（﹣1，2）； = （x+3）（﹣x2﹣2x+3）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）
y y y
P A
O
E
B
A
O
B
x
D
x
A
O
B
x
C 图一
图二
图三
y
C D
M
y y E D
C
N
O x O A x O E
B x
图四
图五
图六
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)， B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴 上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及 △PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
二次函数最值问题
1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值 范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少
2
= 当x=﹣ 时，S四边形BPCO最大 值= ∴S△BPC最大= 当x=﹣ 时，﹣x2﹣2x+3= ∴点P坐标为（﹣ ， ）
方法二 如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．
3、已知抛物线与轴交与A、C两点，与轴交与点B， （1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC的面积.
1 2 S x 20 x 解：（1） 2
（2）∵a=<0 ∴S有最大值0 20 200 ∴ S的最大值为 2
20 1 2 （ ） 2
20
∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。
2.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm， 点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向 以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向 以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒， △PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值.
解：（1）∵S△PBQ=PB· BQ, PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y=（18－2x）x，即y=－x2+9x （0<x≤4） （2）由（1）知：y=－x2+9x， 9 9 2 ∴y=－(x－2 ） +,∵当0<x≤ 时，y随x的增大而增大，
而0<x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面 积是20cm2.
2
3．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P 从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q 从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q 两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动． （1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为 Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范 围． （2）t为何值时，S最小？最小值是多少？
4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m ） （2）∵y=﹣ x2+20x=﹣（x﹣20）2+200， 的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠 ∵a=﹣ ＜0，∴当x＜20 时， y随x的增大而增大， 墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成如图，若设花 2） 园的 BC 边长为 x （ m ）花园的面积为 y （ m ∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5． （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x ∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5． 的范围． （2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为 多少？