二次函数与分割面积1.已知如图，ABC △中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y axax =-+经过ABC △的三个顶点．（1）求出该抛物线的解析式； （2）若直线7y kx =+将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式． （3）若直线y kx b =+将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定ykx b =+中k 的取值范围．解析：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：5522a x a -=-=，与y 轴交点为(0,4)C ，∴(3,0)A -，(5,4)B ，把(3,0)A -代入254y axax =-+得：91540a a ++=，解之得：16a =-， ∴215466yx x =-++．（2）直线7ykx =+将四边形ACBD 面积平分，则直线一定经过OB 的中点P ．根据题意可求P 点坐标为5(,2)2，把5(,2)2P 代入7y kx =+得：2k =-， ∴直线的解析式为：27yx =-+．（3）45k -≤或45k ≥．2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,3)，点在x 轴的负半轴上，30ABO ∠=︒．（1）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使AC OC +的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把AOB △分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2:3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）过点A 作AFx ⊥轴于点F ，∵30ABO ∠=︒，A 的坐标为(1,3)， ∴3BF =． ∵1OF=，∴2BO =．∴(2,0)B -．设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点(1,3)A ，得33a =， ∴232333yx x =+．（2）存在．理由如下：设抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ．当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，AC OC +的值最小． ∵BCE BAF ∽△△，∴BE CEBF AF=． ∴33BE AF CE BF ⋅==，∴3(1,3C -． （3）存在．理由如下： 如图，连结AO ，设(,)P P P x y ，直线AB 为y kx b =+，∴20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴直线AB为33yx =+．∵33BODP S x =+△，(3333AOD AOB BOD P P S S S x x =-=-+=-+△△△， 1122BPO BDO P D D P BPOD S S S OB y OB y y y =+=⋅+⋅=-四边形△△22()3333333P P P P P x x x x x =+-+=--+， 若:=2:3AOD BPOD S S 四边形△，23333P P P x -+=， 解得12Px =-或1P x =（舍去）．∴1(,24P --． 若:=2:3BOD BPOD S S 四边形△，∴232323333323333P P P x x x +=--+． 解得12Px =-或2P x =-． (2,0)P -，不符合题意．∴存在13(,)24P --，满足题意．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数22y axax c =++的图像与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3,0)-． （1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．解析：（1）由题意，得：3,960.c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：1,3.a c =-⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：223y x x =--+顶点D 的坐标为(1,4)-．（2易求四边形ACDB 的面积为9． 可得直线BD 的解析式为26yx =+．设直线OM 与直线BD 交于点E ，则OBE △的面积可以为3或6．①当1=9=33OBE S ∆⨯时， 易得E 点坐标(2,2)--，直线OE 的解析式为y x =-．设M 点坐标(,)x x -，223x x x -=--+112x --=（舍），212x -+=∴11(22M -+-+，②当1=9=63OBE S ∆⨯时，同理可得M 点坐标． ∴M 点坐标为(1,4)-． （3）连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ，因为点P 在抛物线上， 所以232n m m =-+-，所以PBPO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()223332732228m m m ⎛⎫=-+=-++⎪⎝⎭． 因为3<0m -<，所以当32m=-时，154n =．CPB △的面积有最大值278．所以当点P 的坐标为315(,)24-时，CPB △的面积有最大值，且最大值为278．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数228y x x =-++的图象与一次函数y x b =-+的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为7-．点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点（不与点A 、B 重合），设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD AB ⊥于点D ．（1）求b 及sin ACP ∠的值；（2）用含m 的代数式表示线段PD 的长；（3）连接PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1:2．如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．yxA BDC OP解析：（1）yxEA BDC O P∵当0y=时，2280x x -++=，∴12x =-，24x =．∵点A 在x 轴负半轴上， ∴(2,0)A -，2OA =． ∵点A 在一次函数y x b =-+的图象上，∴20b +=， ∴2b =-． ∴一次函数表达式为2yx =--．设直线AB 交y 轴于点E ，则(0,2)E -，2OE OA ==，∵PCx ⊥轴交AB 于点C ，∴PC y ∥轴，∴45AEO ACP ∠=∠=︒，∴sin sin 452ACP ∠=︒=． （2）∵点P 在二次函数图象上且横坐标为m ， ∴2(,28)P m m m -++，∵PCx ⊥轴且点C 在一次函数2y x =--的图象上，∴(,2)C m m --，∴2310PCm m =-++．∵PD AB ⊥于点D ，∴在Rt CDP △中，2sin 2PD ACP PC ∠==，∴22325222PD m m =-++． （3）m 的值为1-和2．5.如图，在平面直角坐标系中，直线1yx =+与抛物线23(0)y ax bx a =+-≠交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为5．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD AB ⊥于点D ．（1）求抛物线的解析式； （2）设点P 的横坐标为m ．（Ⅰ）用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；（Ⅱ）连结PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．yxAB PCD O解析：（1）在1yx =+中，当0y =时，1x =-；当5y =时，4x =．(1,0)A -、(4,5)B ．将(1,0)A -、(4,5)B 分别代入23y ax bx =+-中，得3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴所求解析式为223y x x =--．（2）①设直线AB 交y 轴于点E ，求得(0,1)E ，∴OA OE =，45AEO ∠=︒，45ACP AEO ∠=∠=︒，∴sin 2PD PC ACP PC =∠=． 设2(,23)P m mm --，则(,1)C m m +， ∴22(1)(23)34PC m m m m m =+---=-++．∴223(34)()2228PD m m m =-++=--+． ∴PD的最大值为8． ②当0m =或3m =时，PC 把PDB △分成两个三角形的面积比为1:2．6.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为ABC △随着顶点A 在抛物线2y x =-上运动而运动，且始终有BC x ∥轴．（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？（2）ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1:8（即:1:8S S =上部分下部分）时，求顶点A 的坐标；（3）ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标．解析：（1）当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与y 轴交于点D ，如图所示．∵BC x ∥轴，23BC AC ==， ∴3CD =，3AD =．∴点的坐标为(3,3)-． ∵当3x =时，2(3)2333y =-⨯=-．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．（2）过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点A 的坐标为2(,23)x x x -． ∵:1:8S S =上部分下部分， ∴23(23)AD x x =-．∵等边ABC △的边长为 ∴sin603AD AC =⋅︒=．∴23()3x -=．∴210x --=．解方程，得2x =±．∴顶点A 的坐标为2,1)+或2,1)-．（3）当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为,0)-、,0)+、,6)-．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =＋＋经过点(11)，-，且对称轴为直线=2x ．点P 、Q 均在抛物线上，点P 位于对称轴右侧，点Q 位于对称轴左侧．PA 垂直对称轴于点A ，QB 垂直对称轴于点B ，且1QB PA ＝＋．设点P 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）请探究PA QB AB ＋＝是否成立，并说明理由．（4）抛物线2111y a x b x c =＋＋（10a ≠）经过Q 、B 、P 三点，若其对称轴把四边形PAQB 分成面积比为1:5的两部分，直接写出此时m 的值．解析：（1）∵抛物线2y x bx c =＋＋经过点(11)，-，且对称轴为直线2x = ∴1122b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得42b c =-⎧⎨=⎩ ∴这条抛物线所对应的函数关系式为242y xx -+＝ （2）由题意知，2(42)P m m m -+，∴2PA m =-，∴1211QB PA m m =+-+-＝＝ ∴点Q 的横坐标为2(1)3m m ---=∴点Q 的纵坐标为2234322)()1(m m m m -+---=- ∴2(321)Q mm m ---， （3）成立理由如下：∵2(42)P mm m -+，，2(321)Q m m m ---， ∴2(242)A m m -+，，2(221)B m m --，∴222()14223AB m m m m m --==--+-又∵2PA m =-，1QB m =-∴2123PA QB m m m +=-+-=-∴PA QBAB +=（4）3提示：∵点Q 的横坐标为3m -，点B 的横坐标为2，QB x ∥轴，抛物线2111=y a x b x c ＋＋（10a ≠）经过Q 、B 、P 三点设其对称轴分别与QB 、QA 相交于点M 、N 则12m QM -＝ ∵23PA QB AB m +==-，∴1(23)2MN m =- ∵对称轴把四边形PAQB 分成面积比为1:5的两部分∴6QMN PAQB S S ∆四边形＝，∴21111(23)6(23)2222m m m --=⨯⨯⨯- 解得13=2m （舍去），23=m∴3m ＝8.已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且12AC ＝cm ，16BD ＝cm ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t （s ）（08t ＜＜）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？（2）设四边形APFE 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使17:40:APFE ABCD S S 四边形菱形＝？若存在，求出t 的值，并求出此时P ，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AC BD ⊥，1==62OA OC AC =，182OB OD BD ===在Rt AOB ∆中，10AB == ∵EF BD ⊥，∴90FQD COD ∠∠︒＝＝又∵FDQ CDO ∠∠＝，∴DFQ DCO ∆∆∽． ∴DF QD DC OD =，即108DF t =，∴54DF t = ∵四边形APFD 是平行四边形，∴AP DF ＝ 即5104t t -=，解得40=9t ． ∴当40=9t s 时，四边形APFD 是平行四边形 （2）过点C 作CG AB ⊥于点G ∵1·==2ABCD S AB CG AC BD ⋅菱形 ∴11012162CG ⋅=⨯⨯，∴485CG = ∴1()2APFD AP DF S CG =+⋅梯形 15486(10)482455t t t -+⋅=+∵DFQ DCO ∆∆∽，∴QD QF OD OC = 即86t QF =，∴34QF t = 同理，34EQ t = ∴3=+=2EF QF EQ t ∴21133=2224EFD EF Q S D t t t ∆⋅=⨯⨯= ∴263(48)54y t t =+-=2364845t t -++ （3）若17:40:APFE ABCD S S 四边形菱形＝则2361748964540t t -++=⨯ 即258480t t -=-，解得14t =，2125t =-（舍去） 过点P 作PMEF ⊥于点M ，PN BD ⊥于点N 当4t =时∵PBN ABO ∆∆∽，∴PN PB BN AO AB BO== 即46108PN BN ==，∴125PN=，165BN = ∴123355EM EQ MQ =-=-= 164416455PM BD BN DQ =--=--= 在Rt PME ∆中2219455PE PM EM =+=（cm ）9.如图1，菱形ABCD 中，60A ∠︒＝，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 、BC 、CD 匀速运动到D 终止；点Q 从A 与P 同时出发，沿边AD 匀速运动到D 终止．设点P 运动的时间为t （s ），APQ ∆的面积S （2cm ）与t （s ）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE 与线段EF 、FG 给出．（1）求点Q 运动的速度；（2）求图2中线段FG 的函数关系式；（3）问：是否存在这样的t ，使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点Q 始终在AD 上作匀速运动 ∴它运动的速度可设为acm/s 过点P 作PH AD ⊥于H当点P 在AB 上运动时，2AP t ＝，则·sin603PH AP t ︒＝＝此时，213=322S at t at ⋅= S 是关于t 的二次函数当点P 在BC 上运动时，3=2PH AB此时，4S AB at =⋅ S 是关于t 的一次函数∴图2中的图象OE 对应着点P 由A 运动到B 的过程中S 与t 之间的函数关系∴(32E ，在函数22S at =的图象上∴=922a ⋅，∴=1a 即Q 点运动速度为1 c m/s（2）当点P 运动到B 点时，3t ＝，∴6AB ＝当点P 在BC 上运动到C 时，点Q 恰好运动到D 点当点P 由C 运动到D 时，点Q 始终在D 点∴图2中的图象FG 对应的是点Q 在D 点、点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数关系此时182PD t -＝，·sin60)PH PD t ︒-＝此时1=6)=2S t ⨯--+∴FG 的函数关系式为S=+-（69t ≤＜）（3）当点P 在AB 上运动时， PQ 将菱形ABCD 分成APQ ∆和五边形PBCDQ此时APQ ∆的面积23=2S t 根据题意，得231166sin60266ABCD t S ==⨯⨯⨯︒菱形 解得=6t （秒）当点P 在BC 上运动时，PQ 将菱形ABCD 分成四边形ABPQ 和四边形PCDQ由题意，5=6ABPQ ABCD S S 四边形菱形方向匀速运动，速度为 即1()353266662262t t -+⨯⨯⨯⨯⨯＝ 解得163t =（秒） ∴存在6t =和163t =，使PQ 将菱形ABCD 的面积恰好分成1:5的两部分 10.如图，在平面直角坐标系中，直线112yx =+与抛物线23y ax bx +=-交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD AB ⊥于点D ．（1）求a 、b 及sin ACP ∠的值；（2）设点P 的横坐标为m ． （Ⅰ）用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；（Ⅱ）连接PB ，线段PC 把PDB ∆分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由1102x +=，得2x =-，∴(20)A -， 由1132x +=，得4x ＝，∴(43)B ， ∵抛物线23y axbx +=-经过A 、B 两点∴423016433a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a =，12b =- 设直线AB 与y 轴交于点E ，则(01)E ，∵PC y ∥轴，∴ACP AEO ∠∠＝.∴sin =sin =5OA ACP AEO AE ∠∠==（2）由（1）知，抛物线的解析式为211322y x x =-- ∴211(3)22P m m m --，，1(1)2C m m +， 2211111(3)42222PC m m m m m =+---=-++ 在Rt PCD ∆中，21·sin (4)25PD PC ACP m m =∠=-++⨯2(1)55m =--+∵05-<，∴当1m ＝时，PD有最大值5②存在满足条件的m 值，52m=或329m = 提示：分别过点D 、B 作DFPC ⊥，BG PC ⊥，垂足分别为F 、G 在Rt PDF ∆中，21(28)5DF m m ==---又4BG m =- ∴21(28)2545PCD PBC m m S DF m S BG m ∆∆---+===- 当29510PCD PBC S m S ∆∆+==时，解得52m = 当21059PCD PBC S m S ∆∆+==时，解得329m =11.如图，在平面直角坐标系中，点(2)Am ，，(3)B n -，为两动点，其中1m ＞，连接OA ，OB ，OA OB ⊥．（1）求证：6mn ＝；（2）当10AOB S ∆＝时，抛物线经过A ，B 两点且以y 轴为对称轴，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若直线l 平分AOB ∆的面积，求直线l 的解析式；（Ⅱ）是否存在直线l 使得:1:2POFQOF S S ∆∆＝？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．解析：（1）证明：作BCx ⊥轴于C ，AD x ⊥轴于D ∵(2)A m ，，(3)B n -，，∴BC n ＝，3OC ＝，2OD ＝，AD m ＝ 又OA OB ⊥，易证BOC OAD ∆∆∽∴BC OC OD AD =，∴32n m= ∴6mn ＝（2）解：∵=AOB BOC OAD BCDA S S S S ∆∆∆--梯形∴111()53210222m n n m +⨯-⨯⨯-⨯⨯= 化简得3220m n＋＝ ∵6mn ＝，∴6n m =，代入上式得63220m m+⨯= 即2320+12=0m m -，123m ＝，26m ＝ ∵1m ＞，∴23m =不合题意，应舍去∴6m＝，∴1n＝，∴(26)A，，(31)B-，∵抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴∴设抛物线的解析式为2y ax k=+∴6419a ka k=+⎧⎨=+⎩解得110ak=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为210y x=+-（3）①设直线AB的解析式为y kx b＝＋∴6213k bk b=+⎧⎨=-+⎩解得14kb=⎧⎨=⎩∴直线AB的解析式为4y x＝＋，令0x＝，得4y＝∴(04)F，∵3OC＝，2OD＝，∴:2:3AF BF＝∴25AF AB=，35BF AB=∵直线l 平分AOB ∆的面积，∴直线l 只能与OB 边相交，设交点为G 则12BFG AOB S S ∆∆＝，∴56BG OB =，∴16OG OB = ∵(31)B -，∴11()26G -， 由(04)F ，，11()26G -，，得直线l 的解析式为2343y x =+ ②∵:1:2POFQOF S S ∆∆＝，∴:1:2PF FQ ＝ 作PM y ⊥轴于M ，QN y ⊥轴于N设2(1+0)P t t ，-，则221046MF t t =-=++--易证PMF QNF ∆∆∽，得22QNPM t ==-，22212FN MF t ==+- ∴228ON t =+-，∴2(228)Q t t --，∵Q 点在抛物线210y x=+-上 ∴2228410t t =--+，解得3t ±＝∴7)P ，或(7)P ，由7)P ，，(04)F ，，得直线l 的解析式为4y =+由(7)P ，，(04)F ，，得直线l 的解析式为4y =+。