《常微分方程》测试题 1、填空题30%1、形女口_______________________________ 的方程，称为变量分离方程，这里丿⑴®（刃分别为x.y的连续函数。
2、形如___________________________________ -的方程，称为伯努利方程，这里戸⑴珈的连续函数.n= 0 1是常数。
引入变量变换---------- ,可化为线性方程。
3、如口果存在常数匸AQ便得不等式 _________________________ -对于所有都成立・£称为利普希兹常数录函数八丿）称为在R上关于尸满足利普希兹条件。
4、形如_____________________________________________ -的方程，称为欧拉方程，这里眄4,杲常数°典）是* =卫伽+ /©的某一解，则它的任5、设姬是宀加的基解矩阵，一解叫）可表为________________________________________________ 。
、计算题40%或=6艺-烟的通解°1、求方程必x或+出二界2、求方程必乂的通解。
3、求方程汀我*+^ = 0的隐式解。
或二工+y型过点@6的第三次近似解。
4、求方程三、证明题30%「上1o r1- —1]1.试验证①0 ）= £ L 2t 1 是方程组x =2 2L ? dx,x=，在任何不包含原点的区间a 曲壬&上的基解矩阵。
2•设①°）为方程x =Ax （A 为* n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 ①（0） =E ），证 明:①© ①"（□）=◎ （t-初）其中to 为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程是 ____________________________ .2、 方程y - " i 的通解中含有任意常数的个数为 __________________ .3、 方程皿（心刃肚+朋兀刈如=°有积分因子）的充要条件为 _________r4、 「连续是保证-■- 对匸满足李普希兹条件的 条件.d 畀——=so X- cos^y5、方程血 _______________________________________ 满足解的存在唯一性定理条件的区域是.6、若厂曲"是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们（有或无）共同零点.7、设■-是方程-的通解，则Lim 尸（力=仙8、已知是二阶齐次线性微分方程二-的一个非零解，则与-线性无关的另一解 川29、设是打阶常系数齐次线性方程特征方程的K 重根，则该方程相应于 I 的K 个线性无关解是 ______ .dY件是、求下列微分方程的通解：（40%）1、-(y-昭必-i ；4> -工妙 =02、 13、y^-2yt-3y = 3x^]4、 ；/+兀二 Wlflf 一匚05 71空"心£必yCO ） = 0 R . W < 1 lyl < 1三、求初值问题L 尸'丿 I I- ^1-的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计 •（ 10分）四、求解微分方程组10、线性微分方程组的解'-1-- ■:: 是的基本解组的充要条5、求解方程 加-3)3 °的解，且满足」• =0, • = •，这里二心；在• 「匚上连续,心邑g +型•试证明：存在常数C 使得儿⑴=c 片⑴《常微分方程》测试题 31 •辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（12%）2、填空题（8%）dy——=ttan y（1）•方程血 ____________________ 的所有常数解是（2） •若y=y 1（x ）, y=y 2（x ）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 __________________ .五、证明题: (10%满足初始条件 -1 -的解.(10%(1)-，型二严辭in# （2）小(3)2^y I d/ d?d?(3).若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是(4).设y轴上的M(x°, y o)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和截距分别是____________________ .3、单选题(14%)(1).方程尹吐』心+(乂一血旳®二0是( ).(A)可分离变量方程(B )线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程~7~ -亘尸—(2).方程朋，过点(0, 0)有().(A) 一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解(3) .方程x(y2—1)dx+y (x2—1)dy=0 的所有常数解是( ).(A) y= ±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1(4) .若函数y(x)满足方程砂+丿一丿bi X _ 0 ,且在x=i时，y=i,则在y=( ).丄J.(A)亡(B)殳(C)2 (D) e(5).怎阶线性齐次方程的所有解构成一个( )线性空间.(A)用维 (B)总+1维 (C)吃T维 (D)世十2维(6).方程血()奇解.有两个(A)有三个(B)无(C)有一个(D)(7).方程血'过点(00 ().(A)有无数个解(B)只有三个解(C)只有解一°( D)只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：二心咖(1).小1' !求方程尬乐的通解.6.证明题(16%)设一在整个J ：「平面上连续可微，且 '1 - ：I •求证：方程的非常数解」 -，当时，有■：1: _,那么“必为—：匚或_ =<%建设目标%>《常微分方程》测试题 41辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)业_2业十空(3)1上2、填空题(8%)dy——=ttan y(1) •方程血的所有常数解是 ______________(2) __________________ .若y=y i (x), y=y 2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把 其通解表示为 ___ .(3).若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是(4).设M(x o , y o )是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x 轴和y 轴上的截距分别是 ____________________3、单选题(14%)(1)-，(4)(6)(1) •方程》山丿$ +匕一血沪)»= 0是( )(A)可分离变量方程(B )线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程=於(°亘尸—V"(2).方程亠、，过点(0, 0)有()(A) 一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解(3) .方程x(y2—1)dx+y(x2—1)dy=0 的所有常数解是( ).(A) y= ±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1(4) .若函数y(x)满足方程'' ，且在x=1时，y=1,则在x = e时y=( ).丄J.(A) L： (B) 2(C)2 (D) e(5). 阶线性齐次方程的所有解构成一个( )线性空间.(A) *'维 (B)叮一1维 (C)「〔维 (D)〔—维(6).方程口()奇解.(A)有三个(B)无(C)有一个(D)有两个空(7).方程■■■5.计算题(10%)求方程产2—的通解.6.证明题(16%)设■■■ -在整个平面上连续可微，且 l -V- - I 求证：方程Al的非常数解J 1''-，当I 时，有，八1 L ,那么！必为—监或_^(A )有无数个解 (C )只有解l ，(B )只有三个解(D )只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分:(1)(2)(3) . (/丰”)心 + (/^打＞^三0(4)《常微分方程》测试题 5、填空题（30%1 •若y=y«x）, y=y2（x）是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为2 .方程满足解的存在唯一性定理条件的区域3 •丄连续是保证方程:初值唯条件.一条积分曲线.—=A（；x）Y4.线性齐次微分方程组•…'的一个基本解组的个数不能多于个，其中兀uR,过皂W5.二阶线性齐次微分方程的两个解，二阿S （力成为其基本解组的充要条件是 _____________________ .——=SMI X COSy6.方程& 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 _____________________________ .』+ ——=x tan y7.方程& '的所有常数解是 _________________________________8•方程vsmydx+.yco S rdy = 0所有常数解是 _______________________________ .9•线性齐次微分方程组的解组F&）疋（“…必（工）为基本解组的 __________________________ 条件是它们的朗斯基行列式莊（刃工°・10•占阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%求下列方程的通解或通积分：1X X2.山3（2ry-cc£ jfjcbr + -l）dy = 0—4.且dx—-+ y± = -2^3y5.〔曲三、证明题（30%1.试证明：对任意％及满足条件°<>0的兀，方程如二尸卜-1）的满足条件曲0）=列的解尸5）在d +00〕上存在.dy 2•设金在［0*上连续，且帆心。
,求证：方程寸厂心的任意解尸用）均有於⑴=° .史二宀（）3•设方程7中,丁3在（-型+©上连续可微，且WO）", *°）.求证：该方程的任一满足初值条件）二兀的解丁◎）必在区间【心+呦上存在.《常微分方程》测试题 6一、填空题（20%）皱二宀冲1.方程…的所有常数解是_________________________________ .2.方程卞"-1）血”（工-1）餌0的常数解是.3.一阶微分方程的一个特解的图像是_________________________ 维空间上的一条曲线.4 .方程尸+卩二。