高三数学函数的图像、零点一：选择题1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0）2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定3.已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ）（A ）)31,0( （B ）)21,31(（C ）)32,21( （D ）)1,32(4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1，2）有零点5.已知1x 是方程32=⋅x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ⋅=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.106.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ）A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2）故选B ．7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ）A．﹣1或0 B．0 C．﹣1或1 D．0或1解答：解；∵二次函数f（x）图象的对称轴x=﹣∈（﹣1，﹣），∴1＜a＜2，由g（x）=e x﹣2x﹣a=0得e x=2x+a分别作出函数y=e x和y=2x+a的图象，如图所示．从而函数y=e x和y=2x+a的图象的两个交点的横坐标分别在区间（﹣1，0）和（1，2）上．∴函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）和（1，2）；∵函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（k，k+1）（k∈z），∴k=﹣1或1故选C．8.若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（A）A．f（x）=8x﹣2 B．f（x）=（x+1）2C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x﹣）解答：解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）==＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则又f（x）=8x﹣2零点为x=；f（x）=（x+1）2的零点为x=﹣1f（x）=e x﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，∴||，即A中的函数符合题意故选A．9．若2>a ，则方程03323=+-ax x 在(0,2)上恰好有（B ）个根A ．0B ． 1C ．2D ． 3 10.已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2a ﹣1=0恰有4个实数根，则实数a 的取值围是（ A ） A ． （﹣，0] B ．[﹣，0] C ．[1，）D ．（1，]解答： 解：由f （x ）=，要使方程f （x ）+2a ﹣1=0有4个不同的实根，即函数y=f （x ）与函数y=1﹣2a 的图象有4个不同的交点，如图， 由图可知，使函数y=f （x ）与函数y=1﹣2a 的图象有4个不同的交点的1﹣2a 的围是[1，2）， ∴实数a 的取值围是（﹣，0]． 故选A ．11.函数f （x ）=tanx ﹣（﹣2π≤x ≤3π）的所有零点之和等于（ B ） A ． π B ． 2πC ． 3πD ． 4π解答：解：函数f （x ）=tanx ﹣（﹣2π≤x ≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标．由于函数y=tanx 的图象关于点（，0）对称， 函数y=的图象也关于点（，0）对称，故函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，如图所示：设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，则由对称性可得x1+x4=π，x2+x3=π，∴x1+x2+x3+x4=2π，故选B．12.定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值围是（B）A．（，1）B．（，1）∪（1，+∞）C．（0，）D．（，1）解答：解：因为函数f（x）是偶函数，所以令x=﹣1得，f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），即函数的周期是2．由y=f（x）﹣log a（|x|+1）=0得f（x）=log a（|x|+1），令y=f（x），y=log a（|x|+1），当x＞0时，y=log a（|x|+1）=log a（x+1），函数过点（0，0）．若a＞1，则由图象可知，此时数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上没有零点，所以此时此时满足条件．若0＜a＜1，则由图象可知，要使两个函数y=f（x）与y=log a（x+1），有三个交点，则y=m（x）=log a（x+1）不能过点B（4，﹣2），即m（4）＜﹣2，即log a5＜﹣2，解得，此时．所以满足条件的a的取值围a＞1或．故选B．13.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0的实数根个数为（B）A．6 B．7 C．8 D．9 解答：解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0，等价6t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）==（2|x﹣3|﹣1），若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）==（2|x﹣5|﹣1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B14.已知函数，若方程f（x）=t（t∈R）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值围是（C）A．（30，34）B．（30，36）C．（32，34）D．（32，36）解答：解：先画出函数，的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），0＜a＜1，1＜b＜4，4＜c＜6﹣，d＞6．∴﹣log2a=log2b，c+d=12，cd＞24．即ab=1，c+d=12，∴abcd=cd=c（12﹣c）=﹣c2+12c（4＜c＜6）的围为（32，34）．故选C．二：填空题15．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______。

416.已知函数f （x ）=k•4x ﹣k•2x+1﹣4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，则实数k 的取值围是 （﹣∞，﹣4]∪[5，+∞） ．解答：解：令t=2x ，则t ∈[1，4]，∴f （t ）=k•t 2﹣2k•t ﹣4（k+5）=k （t ﹣1）2﹣5（k+4）在[1，4]上有零点， ∴f （1）f （4）≤0即可，即﹣5（k+4）（4k ﹣20）≤0， 解得k≥5或k≤﹣4， 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．17.已知函数，则关于x 的方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的实根的个数是 5 ． 解答：解：方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0等价于f （x ）=2或f （x ）=1 ∵函数，∴﹣1≤x ≤1，f （x ）∈[﹣1，1]，|x|＞1时，f （1）＞0，∴f （x ）=1时，cos或x 2﹣1=1，∴x=0或x=±，f （x ）=2时，x 2﹣1=2，∴x=，综上知方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的实根的个数是5． 故答案为：5．18.若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值围是k＞1．解答：解：由于关于x的方程有四个不同的实根，x=0是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零的实数解．∴方程=有3个不同的非零的实数解，即函数y=的图象和函数g（x）=的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，如图所示：故0＜＜1，解得k＞1，故答案为：k＞1．三：解答题19.已知函数（k，m为常数）．（1）当k和m为何值时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数？（2）若不论k取什么实数，函数f（x）恒有两个不同的零点，数m的取值围．解答：解：（1）因为函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴由此得6kx=0总成立，故k=0．∴，又该函数过点（1，0），∴，得m=所以，当m=，k=0时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数．（2）由函数f（x）恒有两个不同的零点知，方程恒有两个不等实根，故△=＞0恒成立，即恒成立，而﹣9k2+12k=，故只须，即，解得0＜m＜．所以，当0＜m＜时，函数f（x）恒有两个不同的零点．20.已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量，，满足，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，数b的取值围．解答：解：（1）∵A，B，C三点共线，∴∴（2）方程f（x）=2x+b即令，∴当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）有极小值为=即为最小值．又φ（0）=ln2，，又﹣ln2=∴ln5﹣＞ln2．∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln2．21.已知函数f（x）=lnx，，（I）设函数F（x）=ag（x）﹣f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值围；（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，数m的取值围．解答：解：（I）F（x）=ag（x）﹣f（x）=ax2﹣lnx，F′（x）=ax﹣=（x＞0）∴函数F（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数若F（x）没有零点，须且只须F（）＞0，即+lna＞0，即0设g（a）=，∵g′（a）=∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0∴g（a）＞0，即当a＞0时，0恒成立故若F（x）没有零点，则a的取值围为（0，+∞）（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）成立，即函数h（x）=mg（x）﹣xf（x）=mx2﹣xlnx，在（0，+∞）上为增函数，即h′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立即m≥在（0，+∞）上恒成立设G（x）=，则G′（x）=∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，∴G（x）≤G（1）=1∴m≥122.定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：且h（﹣3）=﹣2．（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值围；（Ⅲ）设，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．解答：解：（Ⅰ）∵，①，在①中以﹣x代替x得：，即，②由①②联立解得：g（x）=e x﹣3．∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1．∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．（Ⅱ）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，依题意知：当﹣1≤x≤1时，ϕ（x）min≥F（x）max，∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）（e x﹣3）+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴，解得：﹣3≤a≤7，∴实数a的取值围为[﹣3，7]．（Ⅲ）设t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12，f（x）的图象如图所示：设f（x）=T，则f（T）=t当t=2，即a=﹣3时，T1=﹣1，T2=ln5，f（x）=﹣1有两个解，f（x）=ln5有3个解；当2＜t＜e2﹣3，即﹣3＜a＜e2﹣8时，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3个解；当t=e2﹣3，即a=e2﹣8时，T=2，f（x）=T有2个解；当e2﹣3＜t≤12，即e2﹣8＜a≤7时，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1个解．综上所述：当a=﹣3时，方程有5个解；当﹣3＜a＜e2﹣8时，方程有3个解；当a=e2﹣8时，方程有2个解；当e2﹣8＜a≤7时，方程有1个解．。