三角形全等综合题归类一、 双等边三角形模型 1. (1)如图1,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连结AC和BD,相交于点 E ,连结BC 求/ AEB 的大小； (2)如图2, △ OAB 固定不动， 求/ AEB 的大小.G 连接AF 和BE. 如图a , △ ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 ⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2) 将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图 b ,⑴ 中的结论还成立吗？作出判断并说明理由； (3) 若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可),⑴ 中的结论还成 立吗？作出判断不必说明理由 2、 C C3.如图 ( (2)^ 理由. 1,若^ ABC 和^ ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD的中点ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是,CD =BE 是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若不是，请说明 请给出证明,4、已知，如图①所示，在△ ABC 和^ ADE 中，AB=AC , AD =AE , N BAC =NDAE，且点B, A, D 在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1)求证：① BE =CD :② AM =AN ；(2)在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接(1)中的两个结论是否仍然成立写出DA5.如图，四边形ABCD和四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H.(1)证明：△ ABG = △ ADE ;(2)试猜想N BHD的度数，并说明理由；(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0 °v N BAE < 180 °)，设△ ABE的面积为S , △ ADG的面积为S2，判断S与S2的大小关系，并给予证明. GCBF E6.已知：如图，△ ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG // BC ,交AC于点G，在GD的延长线上取点E ,使DE = DB，连接AE，CD .(1)求证：△ AGE =△ DAC；(2)过点E作EF // DC，交BC于点F，请你连接AF ,并判断△ AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.考点2 :利用角相等证明垂直垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 :利用垂直证明角相等 1、如图，△ ABC 中,/ ACB= 90°, AC = BC AE 是BC 边上的中线，过 C 作CF 丄AE,垂足为 F ,过B 作BD 丄BC 交 CF 的延长线于D. 求证：(1) AE = CD (2)若 AC= 12 cm ,求 BD 的长.2、如图(1), 已知△ ABC 中，/ BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线 CE 丄AE 于E 。

(1) ⑵ ⑶ ,且B C 在 A E 的异侧,BD 丄AE 于D,3.试说明：BD=DE+CE. 若直线AE 绕A 点旋转到图 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变，问 BD 与 DE CE 的关系如何？说明理由。

直线CD 经过N BCA 的顶点 (1)若直线CD 经过N BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： 若 N BCA =90",则 E F 若 BCA <180 \若使①中的结论仍然成立，则Na 与N BCA 应满足的关系 C , CA=CB E 、F 分别是直线CD 上两点，且N BEC =N CFA =Na ①如图1,BE-AF (填“ >”，“ C ” 或“=”号)； ②如图2, (2)如图 予证明. 3,若直线CD 经过N BCA 的外部,Z* = NBCA ，请探究EF 、 BE AF 三条线段的数量关系，并给 图1图2 图31、如图，在等腰Rt △ ABC中，/ ACB=90 , D为BC的中点，DE I AB,垂足为E,过点B作BF// AC交DE的延长线于点F,连接CF. (1)求证：CD=BF (2)求证：ADI CF; (3)连接AF,试判断△ ACF的形状.2、如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形， / ACB= 90°, AD是BC边上的中线，过交AD于点F,求证：/ ADC=/ BDE3.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE ,(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，也ABC的边BC在直线I上，AC丄BC,且A C=BC,A E FP的边FP也在直线重合，且EF=FPC作AD的垂线，交AB于点E ,GC连接AE和GC.你认为(1)上，边EF与边ACE 图9(SGIAB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；EP 交AC 于点Q,连接AP ，B Q.猜想并写出BQ 与AP 所满EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结AP ,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由等腰三角形(中考重难点之一)AC =BC , Z C =90°, D 为AB 边的中点， ^EDF =90°，也EDF 绕D 点旋转，它的两边I考点1 :等腰三角形性质的应用 如图，MBC 中，AB =AC , NBAC证：BE =AF , AE =CF . 1. =90 °, D 是BC 中点，ED 丄FD ，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于2. 两个全等的含30取BD 的中点M ,,60'角的三角板 连结ME,MC .试判断AEMC 的形状，并说明理由.ADE 和三角板ABC ,如图所示放置，E, AC 三点在一条直线上, 连结BD ,CA(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 (2) 将AEFP 沿直线I 向左平移到图2的位置时， 足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3) 将iEFP 沿直线I 向左平移到图3的位置时， 已知 Rt AABC 中,分别交AC 、CB (或它们的延长线)于 E 、F .当N EDF 绕D 点旋转到DE 丄AC 于E 时(如图1),易证S g EF +S g EF=2$誉BC -当ZEDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立 证明；若不成立，1DH 与BE 相交于点 G 。

(1) BF=AC (2) CE=—BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

?若成立，请给予S 应EF , S 虑EF , S ^BC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明.4、已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=45°, CD 丄AB 于 D , BE 平分/ ABC, 且BE 丄AC 于E ,与CD 相交于点 F ，H 是BC 边的中点，连结 考点2 :等腰直角三角形(45度的联想)1、如图1,四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点 在AB 边上滑动(点 E 不与点A , B 重合)，另一条直角边与/ CBM 的平分线BF 相交于点 如图14—1,当点E 在AB 边的中点位置时： 通过测量DE , EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 — 连接点E 与AD 边的中点N ,猜想NE 与BF 满足的数量关系是 _ 请证明你的上述两猜想.如图14—2 ,当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找 到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时 DE 与EF 有怎样的数量关系并 D 证明D ，且直角顶点 EF. ⑴① ② ③ ⑵2.在 Rt A ABC 中，AC = BC , / ACB = 90 ° D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点 G. (1)如图1, E 为线段DC 上任意一点，点 F 在线段DG 上，且DE=DR 连结EF 与CE 过点F 作FH 丄FC,交直线图1图2F1ON胚A SB @14-123、已知：△ ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与/ ACM 的平分线CF 交于点F （1） 如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时①猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . ①连结点E 与AB 边得中点N,猜想BE 和CF 满足的数量关系是O 请证明你的上述猜想；（2） 如图（2）当点E 在BC 边得任意位置时，AE 和 怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题1.如图：E 在线段 CD 上，EA 、EB 分别平分/ DAB 和/ CBA, / AEB=90，设AD = x,2 2BC = y ，且 x,y 满足 x +y -6x-8厂25 = 0（1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由 .AB 于点H . ① 求证：DG=DC ② 判断FH 与FC 的数量关系并加以证明.（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线DG 上，（1）中的其他条件不变，借助图 2画出图形。

在你 所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在 （1）中得出的结论是否发生改变.（本小题直接写出结论，不必证明）A ,600角的顶点 EEF 有M图（1）BE C 图（2）2.如图①，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60 点F 。

请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系； (2) 如图③，在△ ABC 中，如果/ ACB 不是直角，而 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

4.如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC, DG 丄BC 且平分BC, DE 丄AB 于E , DF 丄AC 于F.(1)说明BE=CF 的理由；(2)如果AB=a , AC=b ，求AE 、BE 的长.五、中点问题,AD 、CE 分别是/ BAC / BCA 的平分线，AD 、CE 相交于(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成3.如图，在四边形ABCD中，AC 平分Z BAD ，过C 作CE 丄A 盯E ，并且 等于多少？ AE =-(AB +AD)2 ，则N ABC +N ADC图FB3、已知：如图，矩形ABCD 中点G 为BC 延长线上一点，连接DG, B H 丄DG 于H ，且2、已知 MBC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为AABC 的AB 边上的中线. 求证CD =2CE3、以 M BC 的两边 AB 、AC 为腰分别向外作等腰 RUABD 和等腰Rt 心ACE , Z BADCAE =90°.连接DE , M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究： AM 与DE 的位置关系及数量关系. ⑴如图① 当M BC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ________________ ;线段AM 与DE 的数量关系是 ___________ ; ⑵将图①中的等腰RUABD 绕点A 沿逆时针方向旋转0°(O v0＜：9O)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是 否发生改变？并说明理由.1.在^ ABC 中，D 为BC 的中点， 过D 点的直线GF 交AC于F ,交AC 的平行线 BG 于点G 。