武汉2018届高二下学期期中考试数学学科试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．曲线2212-=x y 在点)23,1(-处的切线的倾斜角为（ ） A.1 B.4π C.45π D.4π-【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a＝1.【答案】 A3．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f （Xo+h ）-f （Xo-h ）/h 的值为( )A ．－2f ′(x 0)B ．0C．f′(x0) D．2f′(x0)【解析】limh→0f x＋h－f x0－hh＝2limh→0f x＋h－f x0－h2h＝2f′(x0)，故选D.【答案】 D5．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.【答案】 C6．设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n与p的值为( )A．60，34B．60，14C．50，34D．50，14【解析】：由ξ～B（ｎ，ｐ），有Eξ=np=15,Dξ=np(1-p)=.所以p=,n=60.答案：B7．一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是 ( )A.16625B.96625C.192625D.256625答案：B8．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B 的值为( )A．4 B．129 C．128 D．0[答案] C[解析] A －B ＝37－C 17·36＋C 27·35－C 37·34＋C 47·33－C 57·32＋C 67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选C ．9．独立性检验中，假设H0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99% [答案] D[解析] 由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%.10．曲线x x y +=331在点)34,1(--处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.32 B.31C.92D.91[解析]（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P （x ，y ）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标 （3）利用面积公式求出面积． 解答：解：若y=x3+x ，则y ′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，-），围成的三角形面积为，故选D11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋－12＝55＝ 5.【答案】 A12．记21sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ）A ．ABC >> B ．A C B >>C. B A C >>D. C B A >>【解析】：时的导数值，，在分别表示，2321sin 23cos 21cos =x x 记)23sin 23(,21sin 21，），（N M根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率，B 表示sinx 在点N 处的切线的斜率，C 表示直线MN 的斜率， 根据正弦的图像可知A >C >B 故选B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ12 3 4 5 P 0.10.20.40.20.1则P(2≤ξ解析：P(2≤ξ＜4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6. 答案：0.632.521.510.50.511.522.535432112345f x () = sin x ()MN14．二项式(x －1x)6的展开式中常数项为________．[解析] 二项式(x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·(－1x)r ＝C r 6·(－1)r·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式(x －1x)6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝1515．设P 为曲线32:2+=x y C 上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围是]4,0[π，则点P 的横坐标的取值范围是________.[解析]设点的横坐标为，由题意，得。
又由导数的几何意义，得(为点处切线的倾斜角).又∵(,)，∴，∴16．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)18．(本小题满分12分)已知随机变量X的分布列为解：∵0.2＋0.2＋a ＋0.2＋0.1＝1，∴a ＝0.3.∴E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8. D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.D (－2X －3)＝4D (X )＝6.24.19.(本小题满分10分)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.20．(本小题满分12分)求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.21．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x＋4y ＋17＝0.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c （a >0）（1）若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，且c=1，F(x)=，求F(2)+F(-2)的值；（2）若函数f (x )的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为？ 【解】：(1)由已知c=1，f(-1)=a-b+c=0，且-=-1，解得a=1，b=2，∴f(x)=(x+1)2，∴F(x)=，∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8；（2）由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.。