1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程0),(),(=¶¶+¶¶dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶yx U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22,“充分性”，xy x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N yU =¶¶ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =¶¶即同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N yM x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò¶¶-+(8)。

y x U 为全微分方程从而存在即)1(,),(ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j 注:若(1)为全微分方程,则其通积分为为任常数c c dy dx y x M y N dx y x M ,]),([),(=¶¶-+òòò二、全微分方程的求解1 不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为全微分方程判断=+dy y x N dx y x M ò+=，y dx y x M y x U )(),(),(20j 求).(),(30y y x N yU j 求由=¶¶例1验证方程0)sin 2()(=-++dy y x dx y e x是全微分方程,并求它的通解.解:(,),(,)2sin .xM x y e y N x y x y =+=-这里(,)1M x y y¶=¶所以故所给方程是全微分方程.满足由于所求函数),(y x U ,y e x U x +=¶¶,sin 2y x y U -=¶¶积分得对将看作常数只要将由偏导数的定义x y e y x +,,ò++=)()(),(y dx y e y x U x j ).(y yx e x j ++=,),(x y x N ¶¶=).(),(y yx e y x U x j ++=应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(y y y x U j y x dyy d x sin 2)(-=+j 即y dyy d sin 2)(-=j 积分后得:,cos 2)(y y =j 故.cos 2),(y yx e y x U x ++=从而方程的通积分为.cos 2c y yx e x =++2 分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如=+xdy ydx =-2yxdy ydx =+-2xxdy ydx ),(xy d ),(y x d ),(x y d=+-22y x xdy ydx =-xy xdy ydx =--22y x xdy ydx |),|(ln yx d ),(arctan yx d ).(ln 21yx y x d +-例2求方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.解:2223(,)36,(,)64,M x y x xy N x y x y y =+=+这里(,)12M x y xy y ¶=¶所以故所给方程是全微分方程.把方程重新“分项组合”得)66(432232=+++ydy x dx xy dy y dx x 即0)33(222243=+++dy x dx y dy dx 或写成0)3(2243=++y x y x d 故通解为:。

c c y x y x 为任常数,32243=++,),(x y x N ¶¶=例3验证方程,0)1()sin (cos 22=-+-dy x y dx xy x x 是全微分方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1(),(,sin cos ),(22x y y x N xy x x y x M -=-=这里=¶¶yy x M ),(故所给方程是全微分方程.把方程重新“分项组合”得,0)(sin cos 22=++-ydy ydy x dx xy xdx x 即x d 2sin 212221y x d -221y d +,0=xy 2-,),(x y x N ¶¶=,0)(sin 2222=+-y y x x d 或写成故通解为:,sin 2222c y y x x =+-得由初始条件,2)0(=y ,4=c 故所求的初值问题的解为:.4sin 2222=+-y y x x 02121sin 212222=+-y d y x d x d3 线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:,),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:，y x U dy y x N dx y x M 的全微分为某函数),(),(),(+使即有函数),,(y x U ,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=。

为全微分方程从而)1(则取这时,),(,00R y x Îò+=),(),(00),(),(),(y x y x dyy x N dx y x M y x U ò=xx dx y x M 0),(0,),(0ò+yy dy y x N 从而(1)的通解为。

c c dy y x N dx y x M yy xx 为任常数,),(),(000=+òò例4求解方程.0)2(sin )2cos (2=++++dy e x x dx xe x y yy 解:,2sin ),(,2cos ),(2++=+=y y e x x y x N xe x y y x M 由于=¶¶y y x M ),(y xe x 2cos +,),(xy x N ¶¶=故所给方程是全微分方程.,),(),,(全平面上连续在由于y x N y x M 则故取),0,0(),(00=yxòò+=y x dy y x N dx x M 00),()0,(ò=x xdx 022x =ò+++y y dy e x x 02)2(sin .2)1(sin 2y e x x y y +-++.,2sin 2为任常数c c y e x x y y =++故通解为:.2sin 2y e x x y y ++=ò+=),()0,0(),(),(),(y x dy y x N dx y x M y x U ,2sin ),(2cos ),(2++=+=y y e x x y x N xex y y x M三、积分因子非全微分方程如何求解?思考下面的问题对变量分离方程:,0)()(=-dx y x f dy j 不是全微分方程.得方程两边同乘以,)(1y j ,0)()(1=-dx x f dy y j 是全微分方程.x y y x f ¶¶==¶-¶)(10))((j对一阶线性方程:,0))()((=+-dx x Q y x P dy 不是全微分方程.得方程两边同乘以,)(ò-dx x P e,0))()(()()(=+ò-ò--dx x Q y x P e dy e dx x P dx x P 则=或左边()()(())P x dx P x dx d ey Q x e dx --òò-ò,0=是全微分方程.可见,对一些非全微分方程,乘上一个因子后,可变为全微分方程.()()()P x dx P x dx e p x e x --ò¶ò=-¶()(()())P x dxe p x y Q x y-ò¶-+=¶1 定义使得如果存在连续可微函数,0),(¹y x m 0),(),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M y x m m .)1(),(,的一个积分因子是方程则为全微分方程y x m 例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证=+++=dy y x x dx xy y y x y x m 解:对方程有=),(),(y x M y x m =),(),(y x N y x m 332243yx y x +24332y x y x +)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M由于=¶¶y y x M y x ),(),(m xy x N y x ¶¶=),(),(m 222126y x y x +,),(后为全微分方程故所给方程乘于y x m .),(是其积分因子所以y x m 后得对方程两边同乘以y x y x 2),(=m 0)32()43(2433322=+++dy y x y x dx y x y x 把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322=+++dy y x dx y x ydy x dx y x 即03423=+y dx y dx也即0)(3423=+y x y x d 故所给方程的通积分为:。