3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α lβ的两个面内与棱l垂直的直 〈 AB ， CD 〉 线，则二面角的大小θ＝ __________ ．
(2)如图②和图③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，
〈 n1，n2〉或π－〈n1，n2〉 β的法向量，则二面角的大小θ＝ _______________________.
6 2 6 2 3 ， AB ＝ － ， AC ＝ 3 ，0，0 3 ， 3 ，0
6 2 3 ， ， 0 ，－ 3 3
2 3 2 3 ， ＝ CD 0 ， ， 3 3
所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD. 所以 PA⊥BD. 因为 PA∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 PAC.
(2)若 PA＝AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值．
[解] 设 AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以 BO＝1，AO＝CO＝ 3. 如图， 以 O 为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 则 P(0， － 3，2)，A(0，－ 3，0)，B(1,0,0)，C(0， 3，0)． 所以 PB ＝(1， 3，－2)， AC ＝(0,2 3，0)， PB · AC 设 PB 与 AC 所成角为 θ，则 cos θ＝ ＝ | AC | | PB |· 6 6 ＝ . 2 2× 2 3 4
[解]
AD 2 (1)证明： 由题意知 tan∠ABD＝AB＝ 2 ， tan∠AB1B
AB 2 ＝BB ＝ 2 ， 1 又∠ABD，∠AB1B 为三角形的内角， 故∠ABD＝∠AB1B， π 则∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝2， π 所以∠AOB＝2， 即 AB1⊥BD.
又CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1， 所以AB1⊥CO， 因为BD∩CO＝O， 所以AB1⊥平面CBD， 又BC⊂平面CBD， 所以AB1⊥BC.
第六节 利用空间向量求空间角
本节主要包括2个知识点： 1.利用空间向量求空间角； 2.与空间角有关的综合问题.
突破点(一)
基础联通
利用空间向量求空间角
抓主干知识的“源”与“流”
1．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则 |a· b| |a||b| (其中φ为异面直线a，b所成的角)． cos φ＝|cos θ|＝______ 2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n， 直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n |n· e| |n||e| 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝____.
几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD 和 四 边 形 BCEF 是 全 等 的 等 腰 梯 形 ， 且 平 面 BCEF⊥平面 ABCD，AB∥DC，CE∥ BF，AB＝2CD，∠ABC＝60°，G 为线 段 AB 的中点． (1)求证：AC⊥BF； (2)求二面角 DFGB(钝角)的余弦值．
[易错提醒]
(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面 所成的角． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平 面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．
求二面角
[ 例 3] (2017· 沈阳模拟 ) 如图所示
(2)若 OC＝OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值．
[解] 如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1，OC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 2 3 2 6 则 A0 ， － 3 ， 0 ， B － 3 ， 0,0 ，
2 3 C 0，0， ， D 3
[方法技巧] 向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量 v1，v2； |v1· v2| (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝ 求解． |v1||v2| [提醒] 两异面直线所成角 θ
π 的范围是0，2，两向量
的夹角 α 的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角 为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异 面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直 线所成的角．
求直线与平面所成的角
棱柱
ABCA1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形， AB＝2，AA1＝2 2，D 是 AA1 的中点， BD 与 AB1 交于点 O ，且 CO ⊥平面 ABB1A1. (1)证明：BC⊥AB1； (2)若 OC＝OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值．
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
求两异面直线所成的角
[例 1]
如图，在四棱锥 PABCD 中，
PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值．
[解]
(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，
设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，
2 3 2 6 － 3 x＋ 3 y＝0， AB ＝0， n· 则 即 AC ＝0， n· 2 3y＋2 3z＝0， 3 3 2 令y＝1，则z＝－1，x＝ 2 ，
∴平面ABC的一个法向量n＝ 2 . ， 1 ，－ 1 2 设直线CD与平面ABC所成角为α， | · n| CD 则sin α＝|cos〈 CD ，n〉|＝ | CD |· |n| 6 2 3 2 × ＋ 0 × 1 ＋ × － 1 － 3 2 3 15 ＝ ＝ 5 . 5