（II）求二面角 B AC P 的大小．
C
P B
A Q
考点 7 利用空间向量求空间距离和角
例 7． 如图，已知 ABCD A1B1 1C1 D 是棱长为3 的正方体
点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，且 AE FC1 1．
AB 2 ， BC 2 2 ， SA SB 3 ． （Ⅰ）证明SA BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的
D
考点 6 二面角
S
C A
大小．
B
例 6．如图，已知直二面角 PQ ， A PQ ， B ，C ， CA CB ， BAP 45 ，直线CA 和平面所成的角为30 ．（I）证明 BC ⊥ PQ
步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
cos a 2 b2 c2
2ab (计 算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向
量的夹角 (计算结果可能是其补角)：
cos AB AC
AB AC (二) 线面角 (1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），
作 PO 于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO (图中)为直线 l 与 面所成的角。
P
(2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)， 并证明。 步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面
和，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是
二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
立体几何知识点整理
一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
符号表示： 二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l
m
l //
l
l
//
m
m
方法二：用面面平行实现。
// l l //m m
方法三：用线面垂直实现。
m //，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转
化为直线 m 与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。
3 / 12
Ba
c b
C
Am
dn
D
m'
如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线 段， m // m' ，则异面直线 m 和 n 之间的距离 为：
d c2 a2 b2 2ab cos
高考题典例 考点 1 点到平面的距离
例 1 如图，正三棱柱 ABC A B C 的所有棱长都为2 ， D 为CC 中点．
111
1
（Ⅰ）求证： AB1⊥平面 A1BD ；（Ⅱ）求二面角 A A1D B 的大小；
（Ⅲ）求点C 到平面 A1BD 的距离．
A
A
考点 2 异面直线的距离
C O
B
F
D
C
B
例 2 已知三棱锥S ABC ，底面是边长为4 2 的正三角形，棱 SC 的长为 2，且垂直于底面. E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离.
6
Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C 的直二面
A D
通过 角．D是
AB 的中点．
I. 求证：平面COD 平面 AOB ； II. 求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小．
E O
B
C
考点 5 直线和平面所成的角
例 5. 四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD ．已知∠ABC 45 ，
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互 补)。
A
O
步骤 1：过点 P 作 PO 于 O，线段 PO 即
为所求。 步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角 形；等体积法和等面积法；换点法)
2. 线面距、面面距均可转化为点面距。
3. 异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
m
n
如图，m 和 n 为两条异面直线，n 且
若 l ,m ，则 l // m 。
方法四：用向量方法：
若向量l 和向量m 共线且 l、m 不重合，则
l // m 。
2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。
l // m
m l // l
方法二：用面面平行实现。
l // l //
方法三：用平面法向量 实现。
若 n 为平面的一个法
向量， n l 且 l ,则 l //。
(三) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内 分别作 l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和
n 的夹角为二面角—l—的平面角。
m
Pl
n
步骤一：计算cos n1 n2
n1n2 n1 n2
步骤二：判断与 n1 n2 的关系，可能相
等或者互补。 四． 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。
方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为 0，则 l m 。
三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角：
(2)范围：[0,90]
当 0 时， l 或 l // 当 90时， l
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(3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出线面角，并证明。 步骤 2：解三角形，求出线面角。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实
现。
l //l'
m // l, m
m'
且相交
//
l', m'且相交
方法二：用线面平行实
现。
l //
m //
//
l, m 且相交
三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。
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l AC
l AC
AB AB
A
l
AC, AB
考点 3 直线到平面的距离
例 3． 如图，在棱长为 2 的正方体 AC1 中，G 是 AA1的中点，求 BD 到平面GB1D1的距离
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D1 O1
C1
A1
B1
H
G
D
C
O
A
B
考点 4 异面直线所成的角
例 4 如图，在 Rt△AOB 中，OAB π ，斜边 AB 4 ．Rt△ AOC 可以
方法二：用面面垂直实现。
m l
l m, l
2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。
l l
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。
lm l m
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO
l OA l PA
l
(1) 范围： (0,90] (2)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到 夹角。