高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（C ）。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。
A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（A ）。
A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（D ）。
A ∞B 2C 0D -2二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x→∞-=2e -2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=33、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =04、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+=15、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→=1二、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•=2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x xx →-解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x xx e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限 01x e →-解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
0021lim ()lim sin 0lim ()lim()x x x x f x x x f x a x a +-→→→→===+= 所以 当0a =时，()f x 在0x =连续因此，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞连续。
8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 至少存在一点c ，使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>证明：因为()f x 在(,)a b 连续，12a x x b <<<，所以 ()f x 在12[,]x x 上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m ，即在12[,]x x 上，()m f x M ≤≤，所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+，又因为 120t t +>，所以112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+，由连续函数的介值定理知：存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂，使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+，即11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>> 证毕。
高等数学测试题（二）导数、微分部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（C ）A 不连续B 连续但不可导C 二阶可导D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（C ） A 1 B12 C 12eD 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（B ） A 1 B2e C 2eD e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()limx f a x f a x x→+--等于（C ）A 0B ()f a 'C 2()f a 'D (2)f a '5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（D ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小二、填空题（每小题4分，共20分）1、设函数()f x x x =，则(0)f '=02、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''=23、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=1 4、 曲线228y x x =-+上点（1，7）处的切线平行于x 轴，点329(,)24处的切线与x 轴正向的交角为4π。
5、 d xe -- = xe dx - 三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a '解：()()()()()limlim ()x ax a f x f a x a x f a a x a x aϕϕ→→--'===-- 2、（7分）设函数()aaxa x a f x x a a =++，求()f x ' 解：112()ln ln aa xa aa x x a f x a x ax a a a a a --'=++3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程解：当6t π=时，曲线上的点为 11(,)22切线的斜率6662sin 22cos t t t dydy t dt k dx dx t dtπππ===-====-，所以 切线方程 112()22y x -=-- 即 4230x y +-=法线方程 111()222y x -=- 即 2410x y -+=4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx解：方程的两边对x 求导 121cos 022cos dy dydy y dx dx dx y-+==- 继续求导 222324sin sin (2cos )(cos 2)d y dy yy dx y dx y =-=-- 5、（7分）设函数1212()()()n a aa n y x a x a x a =---，求 y '解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-方程的两边对x 求导12121nna a a y y x a x a x a '=+++---，则 121112()(())()in na n i i i i n i a a a ay y x a x a x a x a x a =='=+++=-----∑∏ 6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 解：因为 可导一定连续，则211221111(0)lim(),(0)lim 2224x x f ax b a b f x →→+=+=+-==所以1111,2442a b b a +==- 由可导知11122221211111()144242()limlim lim 1112222114()lim1122x x x x ax b ax a a x f a x x x x f x +→→→-→+-+---'====----'==-所以 11,4a b ==-即当11,4a b ==-时，函数()f x 在12x =处可导。
7（7分）若22()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 解：两边微分得22()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++=即 22()()2()()x y f x f y dy dx yf x xf y '--='+ 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 至少存在一点c ，使得 ()0f c =证明：因为 ()()0f a f b +-''•>，不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>()()()()limlim 0x ax a f x f a f x f a x a x a+→+→+-'==>--， 则存在 10δ>， 当 11(,)x a a δ∈+时，11()0f x x a>-，又因为1x a >，所以 1()0f x > 同理可知 存在 20δ>，当 22(,)x b b δ∈-时，22()0f x x b>-，又因为2x b <，所以 2()0f x <，取适当小的12,δδ，使得 12a b δδ+<-，则 12x x <，因为()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在12[,]x x 上连续，且1()0f x >，2()0f x <由零点存在定理知 至少存在一点c ，使得()0f c =，证毕。