上海市静安区2018届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算lim(1)1n nn →∞-+的结果是 2. 计算行列式12311i i i-++的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是4. 从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工 作，则不同的选派方案有 种（用数值作答）5. 已知函数()23x f x a a =⋅+-（a R ∈）的反函数为1()y f x -=，则函数1()y f x -=的图像经过的定点的坐标为6. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =7. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是 8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若12OP xe ye =+（其中1e 、2e 分别为斜坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，,x y R ∈），则点P 的坐标为(,)x y ，若在斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，点M 的坐标为(1,2)，则点M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于 10. 已知函数(5)11()1xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩（0a >，1a ≠）是R 上的增函数，则实数a 的 取值范围为11. 已知函数231()|sin cos()|22f x x x x π=--，若将函数()y f x =的图像向左平移 a 个单位（0a π<<），所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合为12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x R ∈，都有(())0f f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知无穷等比数列{}n a 的各项之和为32，首项112a =，则该数列的公比为（ ） A.13 B. 23 C. 13- D. 13或2314. 设全集U R =，3{|log (1)}A x y x ==-，{||1|1}B x x =-<，则()U C A B =（ ）A. (0,1]B. (0,1)C. (1,2)D. [1,2)15. 两条相交直线l 、m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件16. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ） A. (,1](1,)-∞-+∞ B. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为3π. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求直线1BC 与平面11AAC C 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量(,cos )m a B =，(,cos )n b A =， 且m ∥n ，m n ≠. （1）求证：2A B π+=；（2）若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.19. 如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，tan t θ=.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角CPQ ∆的周长； （2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面 积为S （平方百米），试求S 的最大值.20. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅，试问t 是否为定值？若为定值， 请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.21. 已知数列{}n a 的通项公式为n na n a=+（*,n a N ∈）. （1）若1a 、2a 、4a 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （10k ≥且*k N ∈）与a ，使得1a 、3a 、k a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列{}n a 中的任意一项n a 总可以表示成数列{}n a 中的其它两项之积.参考答案一. 填空题1. 02. 6i -3. 2219164x y -= 4. 60 5. (3,0)6. 12- 7. 3(,3][,)7-∞+∞8.9.10. [3,5) 11. 75{,,,}123126ππππ12. 3a ≥二. 选择题13. B 14. D 15. C 16. A三. 解答题17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）11BC B ∠是异面直线1BC 与1AA 所成的角，所以11BC B ∠=3π………2分 因为114BB AA ==，所以3411=C B ，…………4分于是，三棱柱体积116344ABC V SH S AA ∆===⋅⋅=6分 （2）过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD ⊥平面11AAC C ，D BC 1∠是直线1BC 与平面11AAC C 所成的角， ………………8分8,61==BC BD ，（1DC =），所以直线1BC 与平面11AAC C 所成的角为43arcsin………………14分(arctan7，arc cos 4)18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）(,cos ),(,cos ),m a B n b A ==且//m n ， cos cos 0a A b B ∴-= ………2分B 1A 1C 1ACB又2sin sin ==a b R A B sin cos sin cos A A B B ∴=, 即sin 2sin 2A B = 又ABC ∆中02,22A B π<<22A B ∴=或22A B π+=即A B =或2A B π+=……5分 若A B =，则a b =且cos cos A B =，m n =，m n ≠ 2A B π∴+= ………………………………6分（2）由sin sin sin sin x A B A B ⋅=+可得sin sin sin cos sin sin sin cos A B A Ax A B A A++==………………8分 设sin cos A A t +=，则)4t A π+，02A π<<3444A πππ∴<+<1)4A π∴+分212sin cos t A A ∴=+ 21sin cos 2t A A -∴⋅= ……………11分22211t x t t t ==--，1t t -在t ∈上单调增2221112t x t t t ∴==≥=-- ∴实数x的取值范围为)+∞………………………………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）,tan PAB t θθ∠==，所以BP t =，1CP t =-； 因为点C P Q 、、不共线，所以01t <<，1tan(45)1t DQ t θ︒-=-=+,111tCQ t-=-+; PQ =211t t++;………………5分 直角△CPQ 的周长=211(1)(1)11t t t t t-+-+-+++=2………………6分 (2)11=1221t tS t ---⋅+ ………………8分12=2(1)221t t -++≤+分当1t +=………………13分D45θ探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S最大为2平方百米．……14分 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解: (1) 由已知，圆心C )3,0(,31-=m k , ……………………2分 则31003=+-=l k .故1-=⋅l m k k ，所以直线l 与m 垂直. …………………4分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为330x y -+=）(2) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x 符合题意; ………………5分当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y . …………6分 由于32=PQ ,所以.1=CM ………………7分 由1132=++-=k k CM ,解得34=k . ………………9分 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x . ………………10分(3)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)35,1(--N ,又)0,1(-A ，则),3,0(=AM)35,0(-=AN ,故5t AM AN =⋅=-. ………………11分当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程22(3)4x y +-=得056)62()1(2222=+-+-++k k x k k x k .则,1322221kk k x x x M++-=+= 2213)1(k k k x k y M M++=+=,即)13,13(2222kkk k k k M ++++-,………13分 =AM 222231331(,)=1,)111k k k k k k k k ++++++（.又由⎩⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,3163(k k k k N +-+--,则555(,)=(1,)131313k AN k k k k---=+++.故=t 222221555(3)5(13)(1)5(1)(13)(1)(13)(13)(1)k k k k k k AM AN k k k k k k ---+-++⋅=+==-++++++（）.综上,t 的值与直线l 的斜率无关,且5t AM AN =⋅=-. ……16分（3）另解:连结CA 并延长交直线m 于点B ,连结,,CN CM 由(1)知,m AC ⊥又l CM ⊥,所以四点B N C M ,,,都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得5t AM AN AM AN AC AB =⋅=-⋅=-⋅=-. ……………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）解：(1) a a +=111，a a +=222，444a a=+， ∵1a ，2a ，4a 成等差数列，∴1422a a a +=， …………2分 化简得22a a =，∵∈a N *，∴2=a ． ……………………4分(2) 假设存在这样的k ，a 满足条件，a a +=111，a a +=333，ak ka k +=， ∵1a ，3a ，k a 成等比数列，∴231()k a a a =， ………………6分去分母,展开得229996++=+a ka a ka ka ,化简得2(39)(9)+=-k a k a , ∵∈a N *，∴(9)39,(3)99k a k a k a -=+-=+，当10k =时, 39a =;当11k =时, 21a =；等等． ………………8分 一般的,设9*t k N =-∈,3*=-∈l a N ,则363a t =+,369k l=+. ……9分 ∵∈a N *，∴,l t 需为36的公约数, k 的取值集合为369,1,2,3,4,6,9,12,18,36k k l l ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭(或者列举{}101112131518212745，，，，，，，，) ……………………11分 (3) 即证存在k ，t n ≠，使得t k n a a a = ……………………12分 即证：n k t n a k a t a =⋅⇔+++ )1)(1(1t a k a n a ++=+ ⇔ kt a t k n ++=111 ⇔kt a k nk n k +=- ⇔ t a k n n k +=- ，()n k a t k n+=- …………15分 令1+=n k ，则)1()(a n n a k n t ++=+=∴对任意n ，)1(1a n n n n a a a +++=, 即数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18分 注:直接构造出k a 与t a 亦可，例如：222222(2)n n n n an a n a n a n a a+==⋅+++++， 所以22n n n a a a a +=⋅.。