n3 4n 1 2 n +12017 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷2017.12一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．已知集合 A = {2,3}, B = {1, 2, a } ，若 A ⊆ B ，则实数 a = ．2. 在复平面内，复数5 + 4i （ i 为虚数单位）对应的点的坐标为．i3. 函数 f (x ) =4. 二项式(x -的定义域为．1)4 的展开式中的常数项为．4x 5.若2x2x2 = 0 ，则x = ． 16. 已知圆O : x2+ y 2 = 1 与圆O ' 关于直线 x + y = 5 对称，则圆O ' 的方程是．7. 在坐标平面 xOy 内， O 为坐标原点，已知点 A (-1 , 3) ，将OA 绕原点按顺时针方向 2 2旋转π，得到OA '，则OA ' 的坐标为．28. 某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东30︒ 方向，与 A 相距6.0 海里.船由 A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔 B 与船相距 海里．（精确到 0.1 海里）9. 若公差为d 的等差数列{a }(n ∈ N *)满足 a a + 1 = 0 ，则公差 d 的取值范围是．10．著名的斐波那契数列{a }:1,1, 2,3,5,8,…，满足 a = a = 1,a = a + a (n ∈ N* )，那么 1+ a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + …+ a 2017 是斐波那契数列中的第项．11. 若不等式(-1)n⋅ a < 3 +(-1)n +1n + 1对任意正整数 n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 12. 已知函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的图像关于 y 轴对称，当函数 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 在区间[a , b ] 上同时递增或同时递减时，把区间[a , b ] 叫做函数 y = f ( x ) 的“不动区间”，若区间[1,2] 为函数 y =| 2 x- t | 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题５分）13. 已知α是∆ABC 的一个内角，则“ sin α=2 ”是“α= 450”的--------()2(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件1- lg x n +2 n2 12 A P 1 QD ABADBCB 1y C E M O Nx5 3 86 3 6 5 8 6 π 14．下列命题中，假命题的是--------------------------------------------------------( )(A) 若 z 为实数，则 z = z (B)若 z = z ，则 z 实数(C) 若 z 为实数，则 z ⋅ z 为实数 (D)若 z ⋅ z 为实数，则 z 为实数 15. 现有 8 个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为--（ ） （A ） P 3⋅ P 3（B ） P 8 - P 6 ⋅ P 3（C ） P 3 ⋅ P 5（D ） P 8 - P 416. 如图，棱长为2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 为CC 1 的中1点，点 P 、Q 分别为面 A 1B 1C 1D 1 和线段 B 1C 上动点，则∆PEQ 周长的最小值为( ) (A) 2 (B) (C) (D) E 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)C如 图 ， 梯 形 ABCD 满 足 AB // CD , ∠ABC = 90ο, 且AB = 2 3, BC = 1 ,∠BAD = 30ο ，现将梯形 ABCD 绕 AB 所在的直线旋转一周，所得几何体记作Ω ． (1) 求Ω 的体积V ； (2) 求Ω 的表面积 S ．18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分) 如图是函数 f ( x ) = A s in(ωx +ϕ) ( A > 0 ，ω> 0 ，0 < ϕ<)图像的2一部分， M 、 N 是它与 x 轴的两个交点， C 、 D 分别为它的最高点和最低点， E (0,1) 是线段 MC 的中点．（1） 若点 M 的坐标为(-1,0)，求点C 、点 N 和点 D 的坐标；υυυρ υυυρ 3π2（2） 若点 M 的坐标为(-m ,0)(m > 0) ，且 MC ⋅ M D = - 4 ，试确D4定函数 f ( x ) 的解析式．10 11D C 1m 19．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) = | x | + - 3(m ∈ R , x ≠ 0) ．x（1） 判断函数 y = f (x ) 的奇偶性，并说明理由； （2） 讨论函数 y = f (x ) 的零点个数．20．(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)x 2 y 2已知椭圆Γ : + a 2 b 2= 1 ( a > b > 0 )的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，且 F 1 、F 2 与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点 P ( 2 , 3) 在椭圆Γ 上，过点 F 作互相垂直且与 x 轴不重合的两直2 2 2线 AB 、CD 分别交椭圆Γ 于 A 、 B 、C 、 D ，且 M 、 N 分别是弦 AB 、CD 的中点． (1) 求椭圆Γ 的标准方程； (2) 求证：直线 MN 过定点 R ⎛ 2 , 0 ⎫ ；3 ⎪ ⎝ ⎭(3) 求∆MNF 2 面积的最大值．21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分)设等差数列{a n } 的公差为d 1 ，等差数列{b n }的公差为 d 2 ，记c n = max{b 1 - a 1n , b 2 - a 2 n ,Λ, b n - a n n } ( x 1 , x 2 ,Λ, x s 这 s 个数中最大的数．n = 1,2,3,Λ ) ， 其 中 max{x 1 , x 2 ,Λ, x s } 表 示（1） 若 a n = 2n ， b n = 4n - 2 ，求c 1 , c 2 , c 3 的值，并猜想数列{c n } 的通项公式（不必证明）；（2） 设 a n = -n ， b n = -n + 2 ，若不等式 2 切自然数 n 都成立，求λ的取值范围；1+ - 2c 3 1 + Λ + 1 < - 2 c n - 2 λ⋅ 2n n 对不小于 2 的一（3） 试探究当无穷数列{c n }为等差数列时， d 1 、 d 2 应满足的条件并证明你的结论．y DF 1 ON F 2B Mx ACcy C E M ONx2017 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准2017. 12一． 填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题 5 分 １．3 2．(4, -5)3． (0,10]4． 325．1 6．(x - 5)2 + ( y - 5)2 = 17．(3 18．4.29．(-∞,-2] Y [2,+∞)10．201811．[- 812．⎡ 1, 2⎤, )3, ) 3⎢ 2 ⎥ 2 2⎣ ⎦二．选择题：（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题13．B 14．D 15．C 16．B三． 解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分） 17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题 E 分)【解】（1）过D 作DE // BC 交 AB 于EB５分）满 分 7由已知ED = BC = 1, AE = EB = 3, AB = 2于是V = 1 ⋅π⋅12 ⋅ 3 +π⋅12 ⋅ 3 = 43π． ---------- 7 分33（2） S = π⋅1⋅ 2 +π⋅12 + 2π⋅ 3 = 3π+ 2 3π． -------- 14 分 18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】（ 1 ） 设 C ( x C , y C ) ， 由中点坐标公式得x C+ (-1) = 0, y C+ 0 = 1,∴ x= 1, y = 2 2 2CC于是C (1, 2) 、N (3, 0) 、D (5, -2) ．------------------------6 D分（2）同样由E (0,1) 是线段MC 的中点，得 A = 2 ， C (m ,2) ，2 x + -D (5m ,-2) ，于是MC ⋅ MD = 12m 2 - 4 ， ----------- 8 分由条件υυυρ ⋅ υυυρ =3π2 -可求得 = π，由 = 2π = = π，得ω= ，进而求得 MC MD 44 m 4 T ω8m 2 1 ϕ= π ，因此函数 f ( x ) 的解析式为 f (x ) = 2sin(x + π． ------ 14 分4 419．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)【解】(1) 当m = 0 时， f ( x ) = | x | -3 ，此时 f (-x ) = f (x ) ，所以 f (x ) 是偶函数，当m ≠ 0 时，Θ f (1) = m - 2, f (-1) = -m - 2,∴ f (-1) ≠ f (1), f (-1) ≠ - f (1)所以 f (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数． ....................... 6 分（2）由 f ( x ) = 0 ，可得x x - 3x + m = 0( x ≠ 0) 变为m = -x x + 3x ( x ≠ 0)⎧ ⎛ 3 ⎫2 9⎧⎪-x 2 + 3x , 令g (x ) = 3x - x | x |= ⎨ x > 0 ⎪- x - ⎪ = ⎪ ⎝ ⎭ + , x > 0 4 ， ---- 8 分 ⎪x 2 + 3x , x < 0 ⎨ 3 2 9⎩ ⎪⎛ ⎪ ⎫ 2 ⎪4 , x < 0⎩⎝⎭ 作 y = g ( x ) 的图像及直线 y = m ，由图像可得：当m > 9或m < - 9时， y = f (x ) 有 1 个零点． ---------------------- 10 分 4 4当m = 9或m = 0 或m = - 9时， y = f (x ) 有 2 个零点； -------------- 12 分4 499当0 < m < 或- < m < 0 时， y = f (x ) 有 3 个零点 ----------------- 14 分4 420．(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 6 分)【解】(1)因为∆QF 1F 2 是等腰直角三角形，所以b = c则a =2b ，把点P ( 2 , 2 3) 代入椭圆方程，得a = 2 2 b = 1 ， 故 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为yD F 1 ON F 2Bx)(- 1 )4 + (- 1 )2m m m R ( , 0) R ( , 0) y ⎪ 2 - - 0 3 - x 2 + 22= 1 ------------------------- 4 分(2) 设直线 AB 的方程为 x = my + 1，不妨设m > 0 ，点 A (x 1 , y 1 ) 、B (x 2 , y 2 )⎧ x 2 由 ⎨ 2 y 2 = 1 ， 得 (m 2 + 2) y 2 + 2my - 1 = 0 ， 则y 1 + y 2 = - 2m ，m 2 + 2⎪⎩x = my + 1x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2) + 2 =4 m 2 + 2，则M (2 ,- m 2 + 2 m m 2 + 2 ) -------------------- 7 分 m 2 3m ⎛ 1 ⎫ m ⎪ 3m 解法一、Θ k = m + 2 = , k = ⎝ ⎭ = ,MR 2 - 2 2(m 2 -1) NR ⎡⎛ 1 ⎫2⎤ 2(m 2 -1) m 2 + 2 32 ⎢ - ⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ -1⎥ ⎥⎦ 所以 k 分MR = k NR ，故直线 MN 恒过定点 23． ----------------------------------10 解法二、同理，可得N ( 2m 21 + 2m 2, m ) ， 1 + 2m 2所以直线MN 的方程为 y =3m 2(m 2 - 1) ( x - 2 ) - m 2 + 2 m m 2 + 2即2(m 4 + m 2 - 2) y = (m 3 + 2m )(3x - 2) ，故直线MN 恒过定点 23． 10 分(3) | MF 2 |= = m 4+ m 2，同理 m 2+ 21 + m| NF 2 |= (- 1 m )2 + 2 ∆MNF 面积S = 1 | MF || NF | = m ，设t = 1 + m ≥ 2 ，2 22 2 4(m + 1 )2 + 2m mS =t =1≤ 1 ，当且仅当t = 2 即m = 1 时，∆MNF 面积取最大值 1． 164t 2 + 2分4t + 2 99 t( 2 m 2 + 2 - 1)2 + ( m m 2 + 2 )2 +1 2 3 21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 8 分)【解】(1) a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 6,b 1 = 2,b 2 = 6,b 3 = 10当n = 1 时， c 1 = max {b 1 - a 1} = max {0} = 0当n = 2 时， c 2 = max {b 1 - 2a 1,b 2 - 2a 2} = max {-2, -2} = -2当n = 3 时， c 3 = max {b 1 - 3a 1,b 2 - 3a 2 ,b 3 - 3a 3} = max {-4, -6, -8} = -4∴c = 0, c = -2, c = -4 ，猜想c = -2n + 2(n∈ N * ) ． ---------- 4 分(2) 当k ∈ N * ，且2 ≤ k ≤ n 时， b - na -(b - na ) = n -1 > 0kkk -1k -1所以c n = max{b 1 - a 1n , b 2 - a 2 n ,Λ, b n - a n n } = b n - a n n = n (n - 1) + 2故1+c 2 - 21 c 3 -2 + Λ + 1 c n - 2 = 1 + 1 ⋅ 2 1 2 ⋅3 + Λ +1 (n - 1)n = 1 - 1 ----- 7 分 n 由题意得1 - 1 n< λ⋅ 2n n 即λ> n - 1 2n对不小于2 的一切自然数n 都成立．设 p = n - 1 ，则 p - p = n - n - 1 = 2 - n ≤ 0n 2n n +1n 2n +1 2n 2n +1故( p ) = p = p = 1 ，所以λ的取值范围为λ> 1． ------------ 10 分n max 2 34 4(3) 当k ∈ N * ，且2 ≤ k ≤ n 时，b k - na k -(b k -1 - na k -1 ) = b k - b k -1 - n (a k - a k -1 ) = d 2 -nd 1 ．下面分d 1 = 0, d 1 > 0, d 1 < 0 三种情况进行讨论，1 若d 1 = 0 ，则b k - na k -(b k -1 - na k -1 ) = d 2于是当d 2 ≤ 0 时， b k - na k -(b k -1 - na k -1 ) = d 2 ≤ 0 ，n则对于任意给定的正整数n ， c n = b 1 - na 1, c n +1 = b 1 -(n +1)a 1 ，此时c n +1 - c n = -a 1 ，∴数列{c n } 是等差数列；---------------------------------------------------------- 11 分当d 2 > 0 时， b k - na k -(b k -1 - na k -1 ) = d 2 > 0则对于任意给定的正整数 n ， c n = b n - na n = b n - na 1, c n +1 = b n +1 -(n +1)a 1 ， 此时c n +1 - c n =d 2 - a 1 ，∴数列{c n } 是等差数列； -------------------------------- 12 分2若d 1 > 0 ，若 d2≤ 2d 1 ，则必有 d 2 ≤ nd 1 对任意 n ≥ 2(n ∈ N *) 成立．此时c n = b 1 - na 1, c n -1 = b 1 -(n -1)a 1 ，此时c n - c n -1 = -a 1 ，∴数列{c n } 是等差数列；14分若d 2 > 2d 1 ，则当d 2 ≥ 3d 1 时， c 1 = b 1 - a 1, c 2 = b 2 - 2a 2 , c 3 = b 3 - 3a 3于是2c 2 -(c 1 + c 3 ) = 2d 1 ≠ 0 ，∴数列{c n } 不是等差数列； --------------- 15 分当2d 1 < d 2 < 3d 1 时， c 1 = b 1 - a 1 ,c 2 = b 2 - 2a 2 ,c 3 = b 1 - 3a 1于是2c 2 -(c 1 + c 3 ) = 2(d 2 - 2d 1 ) ≠ 0 ，∴数列{c n } 不是等差数列； ----- 16 分3若d < 0 ，则必存在 s ∈ N *，使得当 n ≥ s 时， n >d 2，此时就有d > nd ，2 11即d 2 - nd 1 > 0 ，此时c n = b n - a n ⋅ n = b 1 + (n -1) d 2 - ⎡⎣a 1 + (n -1) d 1 ⎤⎦ ⋅ nc n +1 = b 1 + nd 2 -(a 1 + nd 1 )⋅(n +1) ，所以c n +1 - c n = -2n ⋅ d 1 + d 2 - a 1 与正整数n 有关，∴数列{c n } 不是等差数列．综合得，若{c n }为等差数列，则有d 1 > 0 且d 2 ≤ 2d 1 或d 1 = 0 ．------- 18 分1d。