利用STM可以分辨表面上原子 的台阶、平台和原子阵列。可 以直接绘出表面的三维图象
探针
空气隙
样品 STM工作示意图
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物 质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性 质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有 着重大的意义和广阔的应用前景。
求出解的形式画于图中。
量子力学结果分析： （1）E>V0情况 在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到x>a区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， I 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）E<V0情况
V
隧道效应
V0
II
III
o
a
x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。
§8 一维方势垒 隧道效应 X=a处， 2 (a) 3 (a)
第二章 薛定谔方程
可得
于是
d 3 ( x) d 2 ( x) |x a |x a dx dx ik1 k2 ik1a k2a A2 e A3 2k2 ik1 k2 ik1a k2a ' A2 e A3 2k 2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 [ sh(k2 a)]e A3 2ik1k2 2 2 k1 k2 ik1a ' A1 A1 [ch(k2 a) sh(k2 a)]e A3 2ik1k2
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
V
8.1 势垒贯穿 薛定谔方程的散射态解
V ( x) 0,
x 0, x a
0 xa
V
V ( x) V ,
在经典力学中,若 E V ,粒子的动能 为正, 它只能在 I 区中运动。
I
O
II
a
III
x
2 d 2 1 ( x) E 1 ( x), x0 2 2m dx 2 2 d 2 ( x) V 2 ( x) E 2 ( x), 2 2m dx 2 d 2 3 ( x) E 3 ( x), 2 2m dx xa
可以验证
J in J re J out
§8 一维方势垒 隧道效应 反射系数和透射系数定义为：
第二章 薛定谔方程
J re R J in
' 2 1 2
2 2
J out T J in
对于我们目前讨论的问题，
R
T
A
A1
A3 A1
(k k ) sh (k2 a) 2 2 , 2 4k1 k2 (k k ) sh (k2 a)
xa
o
a
x
d 2 ( x) 2 k2 2 ( x) 0, 2 dx
2
0 xa
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
以上三个方程中，波函数 1 , 2 和 3 是本征函数， 都是待求量。粒子能量E是给定的，在全空间是同一 常量。粒子可以出现在无穷远处。方程的解应当分别 具有如下形式：
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
i 把时间因子 exp( Et ) 考虑进来，有
1 ( x) Ae 1
1 i ( k1x Et ) k2 x
Ae
' 1
1 i ( k1x Et )
,
x0 , 0 xa
xa
2 ( x) ( A2e
Ae
,
' k2 x 1
1 ( x) Ae A e , 1 2 ( x) A2ek x Ae , ik x 3 ( x) A3e ,
ik1x
2
' ik1x 1 ' k2 x 1
1
x0 0 xa xa
散射问题关心的是粒子贯穿势垒的反射系数和 透射系数，不需要将所有常数全部确定下来。
§8 一维方势垒 隧道效应 用扫描隧道显微镜观察到
第二章 薛定谔方程
硅表面7×7重构图
硅表面硅原子排列
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过 电极间的势垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制 隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。 因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子 扫描隧道显微镜（PSTM)。1989年提出成象技术。 它可用于不导电样品的观察。 STM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工 作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测。任何一 种技术都有其局限性。
下面是用扫描隧道显微镜观察到的一些结果
§8 一维方势垒 隧道效应
)e
i Et
3 ( x) A3e e
i Et ik1x
波函数的物理意义很清楚： 1 为平面波的叠加态， 分别相应于入射波和反射波。 3 为透射波。
能量算符等于动能算符和势能算符之和，但是不存 在粒子的动能加势能等于总能量的关系。
§8 一维方势垒 隧道效应 8.2 反射系数和透射系数
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波反 射波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区 只有透射波。以上的计算和讨论只是说明，在方势垒 存在时，即使自由粒子的能量小于势垒的高度，在同 一时刻，粒子既有概率出现在势垒的右方（ III 区）， 也有概率出现在经典禁区（II区）。但粒子在对 x0 处的概率要大于在 a 处出现的概率。 x 用波包态代表粒子的状态，波包入射到势垒并被 势垒散射的物理模型，更为接近实际的物理模型。
第二章 薛定谔方程
这是用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原 子到Cu表面上构成的量子围栏。 1991年IBM公司的“拼字”科研小组创造出了“分子绘画”艺术。 这是他们利用STM把一氧化碳分子竖立在铂表面上、分子间距约 0.5纳米的“分子人”。这个“分子人”从头到脚只有5纳米，堪称 世界上最小的人形图案。
第二章 薛定谔方程
利用 x 0和 x a 处波函数和它的一阶导数的连续性 A1 , A1' , A2 , A2' 用 A3 表示。 条件,可以将常数 X=0处， 1 (0) 2 (0)
d 1 ( x) d 2 ( x) |x 0 |x 0 dx dx ik1 k2 ik1 k2 ' 可得 A1 A2 A2 2ik1 2ik1 ik1 k2 ik1 k2 ' ' A1 A2 A2 2ik1 2ik1
2 1 2 2 2 2 2 2 21 k2 (k k ) sh (k2 a)
2 2 1 2 2 2 2 1 2
§8 一维方势垒 隧道效应 容易验证
第二章 薛定谔方程
R T 1
这是概率守恒的一种表示形式。 把
4E (V E ) T . 2 2 a 4E (V E) V sh [ 2m(V E)]
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
用扫描隧道显微镜观察 到砷化镓表面砷原子的 排列图如下
1994年初，中国科学院真空物理实 验室的研究人员成功地利用一种新 的表面原子操纵方法，通过STM在 硅单晶表面上直接提走硅原子，形 成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的 线条。从STM获得的照片上可以清 晰地看到由这些线条形成的“100” 字 样和硅原子晶格整齐排列的背景。
定态薛定谔方程 的解又如何呢？
0 xa
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
2mE 2 2m(V E ) 令： k k2 2 2
2 1
V
三个区间的薛定谔方程化为：
V0
d 1 ( x) 2 k1 1 ( x) 0, 2 dx
2
x0
I
II
III
d 2 3 ( x) 2 k1 3 ( x) 0, 2 dx
§8 一维方势垒 隧道效应 8.3 隧道效应的应用
第二章 薛定谔方程
2.扫描隧道显微镜STM
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限 于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。 只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面 作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们 的表面电子云就可能重叠。
§8 一维方势垒 隧道效应
第二章 薛定谔方程
由概率流密度的定义，可以得到入射粒子流的概率 流密度 J in 、反射粒子流概率流密度 J re 和透射粒子 流概率流密度 J out 分别是：
k1 1 2 ik1 x * ik1 x J in Re [( A1e ) ( A1e )] A1 e x m i m k1 ' 2 1 ' ik1 x * ' ik1 x J re Re [( A1e ) ( A1e )] A1 e x m i m k1 1 2 ik1 x * ik1 x J out Re [( A3e ) ( A3e )] A3 e x m i m
1 k2 a 当 k2a 1 时，sh(k2 a ) e 2