1 2 即 T kA 4
平均势能为 T0 T0 T0 1 1 2 1 1 2 2 kA [1 cos 2(t )]dt V Vdt kA cos (t )dt 2T0 2 T0 0 2T0 0 0 可知：系统的平均动能等于平均 1 2 即 V kA 势能，等于总的机械能的一半。 4
{范例5.4} 弹簧振子的能量
弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振幅为A，求弹簧 振子的动能和平均动能、势能和平均势能以及机械能。 [解析]弹簧振子的位移为x = Acos(ωt + φ)， 其中 k / m 振子速度为v= -ωAsin(ωt + φ)， 系统的动能为 (周期用T0表示)
1 2 1 mv m 2 A2sin 2 (t ) 2 2 可见：系统的动能和势能 1 2 1 2 2 势能为 V kx kA cos (t ) 都随时间作周期性的变化。 2 2 总的机 E T V 1 m 2 A2sin 2 (t ) 1 kA2cos 2 (t ) 械能为 2 2 T
T 1 1 1 1 2 2 2 2 T d t m A sin ( t )d t kA [1 cos 2(t )]dt T0 0 2T0 2T0 2 0 0
T0 0
T0
T0
T0
1 1 kA2 [t Байду номын сангаасin 2(t )] 4T0 2
取初相位为零，位移随 时间按余弦规律变化， 速度按正弦规律变化。
动能和势能则分别按正弦平方和 余弦平方的规律变化，其周期只 有位移和速度周期的一半， 这是因 为在一 个周期 之内， 动能和 势能两 次取得 极大值 或极小 值。
总机械能保持不变。
即 E 1 kA2 1 m 2 A2 2 2
系统总的机械能保持不变， 等于系统的最大势能，也等 于系统的最大动能。
{范例5.4} 弹簧振子的能量
弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振幅为A，求弹簧 振子的动能和平均势能、势能和平均势能以及机械能。 由于系统的动能和势能是周期性变化的， 平均动能为 只需要考虑一个周期内的平均值就行了。