芜湖一中2016年高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题（每小题6分，共42分） 1．方程301x y x +-=+的整数解共有（ ）组 A ．1B ．2C ．3D ．42．当1,2,3,,2015n =时，二次函数22()(21)1y n n x n x =+-++的图象与x 轴所截得的线段长度之和为（ ） A ．20162017 B ．20152016C ．20142015D ．201320143．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 4．已知直角△ABC 的面积为132，斜边BC 长为14，则2211AB AC +=（ ） A ．1413B ．1413C ．1314D ．13145．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩只有五个整数解，则t 的取值范围是（ ）A ．1162t -<<-B ．1162t -≤<-C ．1162t -<≤-D ．1162t -≤≤-6．已知a b >，2a b +=，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．2D ．17．如图，正方形ABCD 的边长为4个单位，一动点P 从点A 出发，沿正方形边界按顺时针A→B→C→D→A 的方向运动，以每前进5个单位后退3个单位的方式移动。
已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P第3题与A 的距离，则2019x 为（ ） A ．17B ．25C ．5D ．42二、填空题（每小题6分，共54分）8．已知a 是方程2310x x -+=的根，则分式543226213a a a a a-+--的值是 。
9．在△ABC 中，AC =2，3BC =，则A ∠的取值范围是 。
10．已知关于x 的不等式2x x k +-≥有实数解，则实数k 的取值范围是 。
11．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通。
今发现A ，B 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种。
12．由23x y x -=-表示的曲线所围成的几何图形的面积是 。
13．方程222222(20112012)(220152014)(342)x x x x x x +-+-+=-+的所有实数根的和为 。
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三个人去过同一城市。
由此可判断乙去过的城市为 。
15．已知直线12y x =与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点，点P 在直线AB 上方，且在该抛物线上运动，当△P AB 的面积最大时，点P 的坐标是 。
16．如图，在“镖形”ABCD 中，43AB =，BC=8，30A B C ∠=∠=∠=︒，则点D 到AB的距离为 。
芜湖一中2016年高一自主招生考试数学答题卷一、选择题（每小题6分，共42分）二、填空题（每小题6分，共54分）8．9．10．11．12．13．14．15．16．三、解答题17．（本题8分）盒子内装有10张卡片，分别写有1~10的10个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它的读数x，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取一张卡片，记下它的读数y。
试求：+是10的倍数的概率；（1）x y（2）x y⋅是3的倍数的概率。
18．（本题11分）如图，在半径长为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E 。
（1）在△DOE 中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；（2）设BD x =，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域。
19．（本题11分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。
研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。
（1）当0200x ≤≤时，求v 关于x 的函数表达式()v x ；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）y x =⋅()v x 可以达到最大，并求出最大值。
（精确到1辆/小时）⊥，垂足20．（本题12分）如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD BC 为D。
（1）求证：AH=2OD；∠的度数。
（2）若AO=AH，求BAC21．（本题12分）如图，已知抛物线21 8 ()2y ax bx a=++>过点D（5，3），与x轴交于B（1x，0），C（2x，0）两点，且△BCD的面积是3，过点D作直线l垂直于CD与y轴交于点A，与x轴交于点P。
（1）求抛物线的解析式及PD PA⋅的值；（2）设BD与AC交于点Q，求AQQC的值。
芜湖一中2016年高一自主招生考试数 学 答 案一、选择题（每小题6分，共42分）二、填空题（每小题6分，共54分） 8．1- 9．060A ︒<≤︒10．2k ≤11．1312．313．20072-14．A15．（231,4-） 16．1 三、解答题17．解：先后取两次卡片，每次都有1~10这10个结果，故形成的数对（x ，y ）共有100个。
（1）x y +是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10） 故1100.1100P == （2）xy 是3的倍数，只要x 是3的倍数或y 是3的倍数，由于x 是3的倍数且y 不是3的倍数的数对有21个，而x 不是3的倍数且y 是3的倍数的数对有21个，x 是3的倍数，且y 也是3的倍数的数对有9个，xy 是3的倍数的数对有21+21+9=51个510.51100P ==18．解：（1）存在，边DE 的长保持不变，连结AB 。
90, 2.AOB OA OB AB ∠=︒==∴=, ,OD BC OE AC CD BD CE AE ⊥⊥∴==12DE AB ∴== （2）连结OC ，点C 在弧AB 上，OC OB ∴=OD BC ⊥ 12COD BOC ∴∠=∠同理，12COE AOC ∠=∠111222DOE BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=∠90AOB ∠=︒ 45DOE ∴∠=︒ 过D 作 DH OE ⊥，垂足为H ，在Rt △OBD中，OD = 在Rt △ODH 中，45DOH ∠=︒sin 45OH DH OD ==⋅︒=在Rt △DEH中，2HE x ==2OE OH HE x ∴=+=12DOESOE DH =⋅y ∴= ∴定义域为0x <<19．解：（1）当020x ≤≤时，()60v x =，当20200x ≤≤时， 设()v x ax b =+，由于(20)602060(200)02000v a b v a b =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩ 解得：13a =-，2003b =故60 , 020()1(200),202003x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（2）由（1）可得：60 , 020()1(200),202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ 当020x ≤<时，()60201200f x <⨯=当20200x ≤≤时，2110000()(100)33f x x =--+当100x =时，max 10000()33333f x =≈ 综上，当100x =时，()f x 在0200x ≤≤上最大值约为3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可达到最大，最大约为3333辆/时 20．解（1）延长CO 交圆于N ，则CN 为圆O 的直径， NB BC ∴⊥ 又AH BC ⊥ //NB AH ∴同理//NA BH 从而四边形AHBN 为□ AH NB ∴=而在△NBC 中，O ，D 各为边CN ，BC 中点1//2OD NB ∴即有2AH OD =（2）连OB 、OC AO AH = 又由（1）知2AH OD = 又BO AO = 2BO OD ∴= 30OBD ∴∠=︒而1180902BAO CAO CBO ∠+∠+∠=⨯︒=︒ 又CBO OBD ∠=∠9090903060BAC BAO CAO CBO OBD ∴∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒=︒ 即60BAC ∠=︒21．解：（1）3BCDS=得：122x x a-==又25583a b ++=得：1,6a b ==-故抛物线方程为268y x x =-+，易得：C （4，0） 设P （t ，0）如图，作DE x ⊥轴于点E ，则E （5，0） 而2914CD AP DE CE PE PE t ⊥⇒=⋅⇒=⇒= 又l CD ⊥⇒O 、C 、D 、A 四点共圆⇒140PD PA PC PO ⋅=⋅= （2）注意到：14//3ED EP ED OA OA OA OP ⇒=⇒= 714:63AC l y x ⇒=-+而:2BD l y x =-二式联立解得：4013x =，1413y = 故：401013403413AQ QC ==-。