人教版初中数学九年级第二十七章-相似-及习题-含答案第二十七章相似本章小结小结1 本章概述本章内容是对三角形知识的进一步认识，是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形．在全等三角形的基础上，总结出相似三角形的判定方法和性质，使学过的知识得到巩固和提高．在学习过程中，通过大量的实践活动来探索三角形相似的条件，并应用相似三角形的性质及判定方法来研究和解决实际问题．在研究相似三角形的基础上学习位似图形，知道位似变换是特殊的相似变换．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．小结3 中考透视图形的相似在中考中主要考查：(1)了解比例的基本性质，了解线段的比及成比例线段．(2)认识相似图形，了解相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方．(3)了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件，能利用图形的相似解决一些实际问题．(4)了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小．相似是平面几何中重要的内容，在近几年的中考中题量有所增加，分值有所增大，且题型新颖，如阅读题、开放题、探究题等．由于相似图形应用广泛，且与三角形、平行四边形联系紧密，估计在今后中考的填空题、选择题中将会注重相似三角形的判定与性质等基础知识的考查，并在解答题中加大知识的横向与纵向联系．具体考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用、图形的放大与缩小等．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证23 FG BD AG AD=．分析欲证23FG BDAG AD=，可将其分成三个比例式BD FGAD x=，BD yAD AG=，BD xAD y=，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明BD GDAD GK=就可以了．证明：延长FG交AB于K，连接DK，∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴EF＝C F．∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，∴Rt△FDC≌Rt△E K F，∴K F＝DC，∠3＝∠4，∴四边形K FCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，∴DK⊥AB，∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴BD FGAD GD=．①∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴BD KGAD AG=．②在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴BD CDAD KG=．③由①×②×③，得33BD FG AD AG=．例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证111 AB AC BC+=.分析原式等价于BC BCAB AC+＝1，也就是BC AC BCAB AC-=，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成BC ADAB AC=，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证BC CEAB AC=即可．证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x作CE平分∠BCA，交AB于E，在AC边上取一点D，使CD＝CB，连接DE，∴△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠B＝2x，∠DEC＝∠BEC=3x，又∠CDE＝∠A+∠DEA，∴∠DEA＝x，∴AD＝DE，又∵DE＝EC，∴AD＝CE．在△ABC和△ACE中，∠CAB＝∠CAE，∠ACE＝∠B＝2x，∴△ABC∽△ACE，∴BC CE AB AC=，即BC AD AC CD AC BC AB AC AC AC--===，∴BC AC BCAB AC AC=-,∴BC BCAB AC+=1即111 AB AC BC+=.二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．例4 如图27－99所不，在△ABC中，看DE∥BC，12ADBD=，DE＝4cm，则BC的长为( )A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm分析由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，DE ADBC AB=．因为12ADBD=，所以13ADAB=,所以13DEBC=．因为DE=4 cm，所以BC=12 cm故选B.例5 如图27－100所示，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长．分析(1)由DE∥BC，得∠EDB＝∠DBC＝12∠ABC，可求∠EDB．(2)由DE∥BC，得△ADE△ACB，则DE AEBC AB=，再证出BE＝DE，可求DE．解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC＝12×80°＝40°，∴∠EDB＝40°．(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DE AE AB BE AB DE BC AB AB AB--===.∴121212DE DE-=，∴DE=6 cm【解题策略】将比例式中的AE转化为AB－DE，逐步由未知转化为已知，建立关于DE的关系式来求解．例6 如图27－101所示，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC，求证△ABC∽△FDE．分析由已知可证∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，从而可证△ABC∽△FDE．证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠FDE＝∠B，∠FED＝∠C，∴△ABC∽△FDE．例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD的边CD上一点，BF ⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD．分析由矩形的性质可知∠BAD＝∠D＝90°，再由BF⊥AE可证∠AFB＝∠D和∠DAE ＝∠FBA，从而证明△ABF∽△EAD．证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D=90°，∵BF⊥AE，∴∠AF B＝∠D＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°．又∵∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，∴△ABF∽△EAD，三、思想方法专题专题4 分类讨论思想【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．例8 在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有条．分析如图27－103所示，过点D作AB的平行线，或过点D作DF∥BC，或作∠CDH ＝∠B，或作∠ADG＝∠B，故填4．专题5 建模思想【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A，B间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A，B间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接OA，OB，分别在OA，OB上取中点C，D，连接CD，并测得CD＝a，由此他知道A，B间的距离是( )A．12a B．2a C．a D．3a分析∵D，C分别为OB，OA的中点，∴CD是△ABO的中位线，∴CD＝12AB，∴AB＝2CD＝2a．故选D．【解题策略】 此题将所求问题转化为三角形中位线的问题来解决．例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．分析 利用相似三角形得比例式，构建线段关系求线段长．解：因为CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，所以CD ∥AB ，所以△CGE ∽△AHE ，所以CG EG AH EH =， 即CD EF FD AH FD BD-=+， 所以3 1.62215AH -=+，解得AH ＝11．9， 所以AB ＝AH +HB ＝AH +EF ＝11.9+1.6＝13.5(m)．故旗杆AB 的高度为13．5 m ．专题6 转化思想【专题解读】 本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．例11 如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ． 分析 要证BO 2＝OF ·OE ，只需证OF OB OB OE=，而OB ，OE ，OF 在一条直线上，因此不能通过三角形相似证得，于是想到要用中间比，而由已知可证△AOF ∽△COB 和△AOB ∽△COE ，即有OF AO OB OC =，OB AO OE OC =，从而得证． 证明：在ABCD 中，AB ∥CE ，AD ∥BC ，∴△AOF ∽△COB ，△AOB ∽△COE ，∴AO OF OC OB =，AO OB OC OE =， ∴OF OB OB OE=， ∴OB 2＝OF ·OE ．例12 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6分析 由AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，得△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，则41ABC DEF S S =△△，所以S △DEF ＝124＝3，△DEF 的周长为162＝8．故选A ． 例13 已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为 ．分析 利用相似三角形的性质求解．故填2：5．例14 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝ ．分析 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，得AB ：A ′B ′＝1：2.故填1：2.2011中考真题精选1. （2010广东，3，3分）将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（ ）考点：相似图形分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．解答：解：∵图中的箭头要缩小到原来的错误!未找到引用源。