所以原方程组的解为：
，
．
故答案为：
，
．
【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
7．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+1 经过 A（﹣1，0），B（1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线 l1：y＝k1x+b1（k1，b1 为常数，且 k1≠0），直线 l2：y＝ k2x+b2（k2，b2 为常数，且 k2≠0），若 l1⊥l2，则 k1•k2＝﹣1． 解决问题： ①若直线 y＝2x﹣1 与直线 y＝mx+2 互相垂直，则 m 的值是____； ②抛物线上是否存在点 P，使得△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）M 是抛物线上一动点，且在直线 AB 的上方（不与 A，B 重合），求点 M 到直线 AB 的距离的最大值．
（3）如图：
，
∵M（t，﹣ 1 t2+ 1 t+1），Q（t， 1 t+ 1 ），
22
22
∴MQ＝﹣ 1 t2+ 1 22
S△MAB＝ 1 MQ|xB﹣xA| 2
＝ 1 （﹣ 1 t2+ 1 ）×2 2 22
＝﹣ 1 t2+ 1 ， 22
当 t＝0 时，S 取最大值 1 ，即 M（0，1）． 2
由勾股定理，得
2x y 2
11．解方程组：
x2
2xy
y2
1
【答案】
x1 y1
1 0
，
x2 y2
3 4
．
【解析】
【分析】
由方程②得出 x+y=1，或 x+y=﹣1，进而解答即可． 【详解】
2x y 2①
2x y 2①
x2
2xy
y2
1② ，由②可得：x+y=1，或
x+y=﹣1，所以可得方程组 x
【详解】
由①得 y 2x 5 ．③
把③代入②，得 x2 (2x 5)2 x 7 0 ．
整理后，得 x2 7x 6 0 ．
解得 x1 1 ， x2 6 ．
由 x1 1 ，得 y1 2 5 3 ．
由 x2 6 ，得 y2 12 5 7 ．
所以，原方程组的解是
x1 y1
（2）①由直线 y＝2x﹣1 与直线 y＝mx+2 互相垂直，得 2m＝﹣1，
即 m＝﹣ 1 ； 2
故答案为﹣ 1 ； 2
②AB 的解析式为 y 1 x 1 22
当 PA⊥AB 时，PA 的解析式为 y＝﹣2x﹣2，
联立
PA
与抛物线，得
y
1 2
x2
1 2
x
1
，
y 2x 2
x 1
x6
解得
（h）， 2 5 17 .∴Q 点的坐标为（105， 17 ）.设线段 PQ 的解析式为： y kx b ，
66
6
180 2k b
把（2，180）和（105，
17 6
）代入得：
{ 108
17
k
b
，解得
k
90，b
360 ，
6
∴线段 PQ 的解析式为 y 90x 360 .
（3） 67 h 或 77 30 30
【答案】
x y
1.5 0.5
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出
x
3y
3
，再解方程组解
x x
y 1 3y 3
即可．
【详解】
由 x2 2xy 3y2 3 得： x yx 3y 3 ，
x y 1，
x 3y 3 ，
x y 1 x 1.5 解 x 3y 3得： y 0.5 ．
【点睛】 本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．
6．解方程组
【答案】原方程组的解为：
，
【解析】 【分析】 把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，解方程求出 x，把 x 代 入第一个方程，求出 y 即可. 【详解】
解：
把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4， x2+4x=0， 解得：x=-4 或 x=0， 当 x=-4 时，y=-3， 当 x=0 时，y=1，
8．
x x
2 -y2 y
-3，① 1 0，②
【答案】
x y
1 -2
【解析】
【分析】
根据解二元二次方程组的步骤求解即可.
【详解】
解：由方程①得： x yx-y -3 ，③
由方程②得： x y -1，④
联解③④得 x-y=3，⑤
x 1 联解④⑤得 y -2
x 1 所以原方程组的解为 y -2
，
x2 y2
2 3 5 3
．
yx 1
4．解方程组：
x
2
xy
2y2
．
0
【答案】
x
y
2 1
，
x y
1 2
1 2
．
【解析】
【分析】
先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0 或 x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解 出即可．
【详解】
y x 1①
解：
x2
x
2y2
0②
由②得：（x﹣2y）（x+y）=0 x﹣2y=0 或 x+y=0
原方程组可化为
yx x 2y
10，xy
x y
1 0
解得原方程组的解为
x
y
21， xy1212
∴原方程组的解是为
x
y
21， xy1212
．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次
的目的．
x2 2xy 3y2 3 5．解方程组：
x y 1
AB＝ 22 12 ＝ 5 ，
设 M 到 AB 的距离为 h，由三角形的面积，得
h＝ 1 ＝ 5 ． 55
点 M 到直线 AB 的距离的最大值是 5 ． 5
【点睛】 本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程 组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键
y
0
（舍），
y
14
，
即 P（6，﹣14）；
当 PB⊥AB 时，PB 的解析式为 y＝﹣2x+3，
联立
PB
与抛物线，得
y
1 2
x2
1 2
x
1
，
y 2x 3
解得
x y
1 1
（舍）
x4 y 5
，
即 P（4，﹣5），
综上所述：△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，点 P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；
要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即
(2k)2 4 2 (k 2 16) 0 ，
解得，k= 4 2 .
x2 y2 16
所以当 k= 4
2 时，方程组
x y k
只有唯一解.
【点睛】
本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为 0 时，
一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．
【答案】（1）5h （2） y 90x 360 （3） 67 h 或 77 h 30 30
【解析】（1）由图可知，求甲车 2 小时行驶了 180 千米的速度，甲车行驶的总路程，再 求甲车从 A 地到 B 地所花时间；即可求出乙车从 A 地到 B 地所用的时间；（2）由题意可 知，求出线段 PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出 x 的值.
方程与不等式之二元二次方程组经典测试题含答案
一、选择题
1．解方程组：
xy2
(1)
x2
xy
2y2
0
(2)
【答案】
x1 1 , y1 1
x2 y2
4 2
【解析】
【分析】
先由②得
x＋y＝0
或
x−2y＝0，再把原方程组可变形为：
x
x
y y
2 0
或
xy2 x 2y 0
，然后
解这两个方程组即可．
【点睛】 本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程, 再降次转化为一元一次方程解之.
2x y 5
9．解方程组：
x2
y2
x
7
0
．
【答案】
x1 y1
1
，
3
x2 y2
6 7
【解析】
【分析】
用代入法即可解答，把①化为 y=-2x+5，代入②得 x2-（-2x+5）2+x+7=0 即可．
【答案】
x1 y1
1 ,
2
x2 y2
17 10
【解析】 【分析】 根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别 计算解答即可 【详解】
x 2y 3① 4x2 12xy 9y2 16②
由②得：（2x﹣3y）2＝16， 2x﹣3y＝±4，
即原方程组化为
【详解】
xy2
x2
xy
2y2
0
(1)
，
(2)
由②得：（x＋y）（x−2y）＝0，
x＋y＝0 或 x−2y＝0，
x y 2 x y 2 原方程组可变形为： x y 0 或 x 2y 0 ，