0.5
解：
0 2 5 8 11 14 x / cm
x1 处
y1
=
A cos[ ω( t −
x1 u
) + ϕ0 ]
x2处
y2
=
A cos[ ω(
t
−
x2 u
)+
ϕ0
]
位相差
Δϕ
=
ϕ2
−
ϕ1
=
−
ω u
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
2π λ
(
x1
−
x2
)
=
2π 12
(5
−
11 )
=
−π
反位相
=
cos(
5π 3
t
)
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)]
方法2：将波形倒退
λ 6
得出 t = 0 波形，再写方程！
ϕ0 = 0
…..
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
[例2]如图示，已知： y0 = Acosω t，波长为λ ，
入
全 反
反射波在S处相位改变π。
y0 =Acosωt
反 S
0 x (l- x)
研究波动抓住一条波线研究即可。
第一讲 平面简谐波的波函数 二 平面简谐波的波函数 1 波函数
第十章 机械波
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称
为波函数.
y = y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第一讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立
u
即振动状态在△t时间传播了u△t 距离，即波形以速度
u传播。 想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
3
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
四、举例
1.已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法） 2.已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
z 选定坐标并明确波的传播方向。 z 选取参考点的位置，写出其振动方程。 z 比较位于 x 处的任一点和参考点（振源
习题练习册 练习31
5
3
t
+
π )
3
波动方程
ω
π
3
o
y
y
=
cos[
5π 3
(
t
−
x u
)
+
π 3
]
=
cos[
5π 3
(
t
−
x 10
)
+
π 3
]
( cm, g , s制 )
第一讲 平面简谐波的波函数 （2）求 x1 = 5cm , x2 = 11cm 两处质点振动位相差。
第十章 机械波 y / cm u = 10cm / s 1
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u = γ RT ， γ —— 比热比
M
p
液体中
u=
K， ρ
K = − ΔP ΔV V
p V+Δ V p
（体积模量）
可以证明，弹 性绳上的横波：
u=
F ρl
p 体变
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
横波 ut =
固 体 中
纵波 ul =
G ρ
第一讲 平面简谐波的波函数 ★ 水波是横 波还是纵波？
水表面的 波既非横波又 非纵波。而是 纵波与横波的 合成
第十章 机械波
波速
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点：
波动是位相的传播
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（4）若图为 t = 0.2s 波形， 波动方程如何？
第十章 机械波
y / cm
u = 10cm / s
1
t = 0.2s
0.5
t =0
解：关键是求o点的初位相 0 2 5 8 11 14 x / cm
方法1：t
=
0.2 s
=
T 6
波形
ωt
+ ϕ0
=
π 3
2π T
T 6
+
ϕ0
=
π 3
ϕ0 = 0
yo
λ
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t + Δt 时刻
O
x
x
Δx
在t+△t时刻x+ △x处质点振动状态与t时刻x处质点振动
状态相同,即：y = Acosω(t − x) = Acosω[(t + Δt) − (x + Δx)]
⇒ Δx = uΔt u
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
1
第一讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本量
第十章 机械波
Ay
u
O
λ
x
−A
wave length λ
period T 波速 u
λ
λ = uT
u、T与什 么有关？
媒质定
波源定
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第十章 机械波
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y A
u
t=T/4
求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
b
Oa
cλ
x
ϕ(−π ~ π )
−A
Av
O
y ϕo =π
ωv ωA
ω
v
O
A
y
ϕb = 0
O
y
ϕa
=
π 2
AvO
y
ω
ϕc
=
−π 2
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例1. t = 0 波形如图
或波源）位相的领先或落后关系。由参
考点的 振动表达式得出波的表达式
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
讨论
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和x=0点的初相位.
y
=
− Acos
2π
t ( T
−
x λ
)
(向x 轴正向传播,
ϕ =π)
y = − Acosω (−t − x) (向x 轴负向传播 , ϕ = π )
1)时间推迟方法
第十章 机械波
= 点O 的振动状态
yO = A cos ωt t-x/u时刻点O 的运动
Δt = x / u 点 P t 时刻点 P 的运动
点P 振动方程
yP = A cos ω (t − x / u)
¾ 波函数
y = A cosω(t − x / u)
2
第一讲 平面简谐波的波函数
，G
=
FS ϕ
ϕF S
（切变模量） F
切变
E ρ
，E
=
F Δl
S l
F
（杨氏模量）
F l 线变 Δ l
地震波 ul > ut （会有什么现象？）
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
5 波线 波面 波前
波前 波面振动状态（位相）相同的点连成的面
λ
*
λ 相邻波面间距 为一个波长
球 面 波 波线
平面波
射 壁
求：反射波函数 y′( x, t )
解： 全反射， A不变。
l
y′( x, t) = Acos[ω t − l 2π − π − l − x 2π ]
λ
λ
= Acos[ω t + x 2π − 2l 2π − π ] λλ
“+”表示沿 -x 方向传播
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第一讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第一讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
一、波动的几个概念
波动是振动状态的传播.振动是激发波动的波源.
1 机械波的形成 产生条件
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
第一讲 平面简谐波的波函数
=
A cos(ω
t
m
kx
+ϕ)
，k
=
2π λ
y
=
Acos 2π（ t T
m
x λ
+ϕ）
——波数
(wave number)
y = Aei(ω tmkx+ϕ ) （Re）
= Aei(mkx) ⋅ ei(ωt+ϕ ) （Re）
了解
空间因子 （复振幅）
振动因子
第一讲 平面简谐波的波函数 三 波函数的物理意义
2)相位落后法
Ay
第十章 机械波
uv
点 O 振动方程
yo = A cos ωt
x = 0 ,ϕ = 0
P
x
Ox *λ
−A
每隔一个λ，相位落后2π
P点落后O 点的相位
ϕp
=
−2π