u
T
x x1 y Acos[(t x1 ) ]
初位相为 x的1 振 动u方程
u
y 振动曲线 x一定
t t1
y

A cos[ (t1

x) u
]
各质元离开平衡位置的分布—波动
y 波动曲线 t 一定
0
t0
x
T
x,t均变?

第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
第八讲
平面简谐波函数
内容提要
1.波动的几个概念 2.平面简谐波函数 3.波函数的物理意义 4.举例
第八讲 平面简谐波的波函数
一、波动的几个概念
第十章 机械波
波动是振动的传播. 振动是激发波动的源.
1 机械波: 机械振动在介质中的传播
波源
+ 弹性作用
介质
波的传播：

cos( 5
3
t

)
3
波动方程
第十章 机械波 u 10m/s
8 11 14 x / m
2 5 rad/s
T3

3
o
y
y cos[5 (t x) ] cos[5 (t x ) ]
3 u3
3 10 3
(SI)
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波

Acos(Bt
Cx)
式中 A, B,C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的两点间的相位差.
Cx) y Acos
2
π
(
t

x)
T
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
第八讲 平面简谐波的波函数 4. 描述波动的基本物理量
第十章 机械波
波长λ: 在波线上相邻的两个振动状态完全相同的点之间的距离 周期T: 振动状态或者相位传播一个波长的距离所需要的时间 相速u: 相位的传播速度, 即单位时间内相位传播的距离

(5
3
)2
cos[5
3
(t
x) 10

]
3
=0
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
（4）若图为 t 0.2s 波形， 1
y/m
t=0.2s
u 10m/s
tT
波动方程如何？
0.5

6
解：关键是求o点的初位相 0
6 25
8
方法1：t=0.2s= T 波形
6
t
0


3
2
λ = uT T 取决于波源的性质，u 取决于介质的特性。
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
•波速 u 与媒质性质的关系*：（公式不必记忆）
气体中
u RT ， —— 比热比
M
p
液体中 u K ，

p V+ V p
K P
V VBiblioteka （体积模量）p 体变
F
弹性绳上的横波 u
想一想:如何判断波形图上质点振动方向?
第八讲 平面简谐波的波函数
四、举例 两种题型
第十章 机械波
1. 已知波函数求各物理量（系数比较法，定义法）
2. 已知各物理量求波函数
写波函数一般步骤
选定坐标并明确波的传播方向。 选取参考点（波源），写出其振动方程。 根据时间推迟法或相位落后法，写出波动方程。
2π x 2π x x

Tu u
Acos[(t x / u) ]
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
点 O 振动方程
y A
u
x
yO Acos(t )
O
A

u
波 y Acos[(t x) ]
函
u
u 沿 x 轴正向
数 Acos[(t 2 x / ) ]
若 x, t 均变化，表示波形的传播--行波
yu
t 时刻 t t 时刻
O
x
x
x
（t+△t，x+ △x）质点振动状态=（t，x）质点振动状态
y Acos[(t x) ] Acos{[(t Δt) (x Δx)] }
u
u
x uΔt
振动状态在△t时间传播了u△t 距离，波形以速度u传播。
“+”表示沿 -x 方向传播
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
作业 10-4，10-6，10-7，10-9
特征：具有交替出现的密部和疏部.
第八讲 平面简谐波的波函数
水表面的波是什么波？
既非横波又非纵 波。而是纵波与 横波的合成
第十章 机械波
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 波动的特点： （1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
为波函数.
y y(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
第八讲 平面简谐波的波函数 2 波函数的建立 1) 时间推迟方法
点 O 振动方程
第十章 机械波
yO Acos(t ) t x u
点P
点O在t-x/u 时刻的相位
P点在t时刻的相位
点P 振动方程 yP Acos[(t x / u) ]
入
全 反射波在S处相位改变。
y0 =Acosω t
反 S
0 x (l- x)
反 射 壁
求：反射波函数 y( x, t)
解： 全反射， A不变。
l
y(x,t) Acos[ t l 2 l x 2 ]


Acos[ t x 2 2l 2 ]
3 ） 如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振
动初相位（ ( π ~ π ) ）
y
t =0
y
A
u
t=T/4
O
O
A
A
o π a π/2
另解:t=T/4时O点的相位：
t 0 π/2
(2 / T)(T / 4) π/2
O
0 π

b
a
c
x
b 0 c π/2
u 沿x 轴负向, 波函数如何写？
y Acos[(t x) ] Acos[t 2 x / ]
u
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
• 讨论: 当振源不位于坐标原点时，如何写波动方程？
u
o····L···x···Q·····P··················x 设Q点振动方程 y Acos(t )
波函数 y Acos[(t x / u) ]
第八讲 平面简谐波的波函数 2) 相位落后法
第十章 机械波
点 O 振动方程
yO Acos(t )
P点落后O 点的相位
p

2π
x



p
yp
2π x

Acos(t

2π
x


)
波函数 y Acos[t 2 x / ]
y

Acos


t

x
u
L



or y Acos(t 2 (x L) )
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
波函数的另外几种常见表示式：
y Acos( t kx ) ，k 2
y

A
cos
2

t T
x


y
y
A
u
t=T/4
A
O
b
a
c
x
A
第八讲 平面简谐波的波函数
例1. t=0时的波形如图所示
y/m
（1）写出波动方程。
1
0.5
解（1）先写O点振动方程 0 2 5
由图可知:
A 1m 12m T 12 1.2s
u 10
关键确定
0
3
y0

A cos(t
0 )
+

——波数
(wave number)
y Aei( t kx) （Re）
Aei( e kx) i(t )
空间因子 振动因子 （复振幅）
（Re）
了解
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
三 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
T
T 6
0


3
11 14 x / m
0 0
yo

cos( 5
3
t)
y cos[5 (t x )]
3 10
方法2：将波形倒退
得出
6
t 0波形，再写方程！
0 0
…..
第八讲 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
例2 如图示，已知： y0 Acos t，波长为 ，


2
( x2